Излседване на функция

[Гост]

Някой може ли да ми каже как мога да започна изследването на тази функция. Учил съм как се излседват но в по различен вариант ан функцията. Когато ми е дадена така се затруднявам. Функцията е следната:

y=[tex]\frac{2}{9}[/tex]x[tex]\sqrt{x}[/tex]-x

[Гост]

[tex]y=\frac{2}{9}x\sqrt{x}-x[/tex]
ДМ: [tex]x\ge 0[/tex]
Нули (кога се анулира): [tex]y=0\Leftrightarrow \frac{2}{9}x\sqrt{x}=x[/tex]. Ако [tex]x=0[/tex] имаме решение. Ако не, [tex]\frac{2}{9}\sqrt{x}=1\Leftrightarrow 2\sqrt{x}=9\Leftrightarrow x=\frac{81}{4}[/tex]

[tex]y=\frac{2}{9}x^{\frac{3}{2}}-x[/tex]
[tex]y'=\frac{2}{9}.\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-1\Leftrightarrow y'=\frac{1}{3}\sqrt{x}-1[/tex]. Тогава [tex]y'=0\Leftrightarrow x=9[/tex]. Също имаме, че [tex]x\in [0,3):\hspace{2mm}y \downarrow[/tex] и [tex]x>3:\hspace{2mm}y \uparrow[/tex]. Първата производна си сменя знака в точката [tex]x=3[/tex] и значи [tex](3,\frac{2}{3}.\sqrt{3}-3)[/tex] е локален минимум.
[tex]y'=\frac{1}{3}x^{\frac{1}{2}}-1\Rightarrow y''=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{6\sqrt{x}} > 0[/tex], значи фунцията е изпъкнала и няма инфлексни точки.

Хоризонтална асимптота: [tex]\lim_{x\to +\infty}(\frac{2}{9}x\sqrt{x}-x)=\lim_{x\to +\infty}(x(\frac{2}{9}\sqrt{x}-1))=+\infty[/tex], значи няма хоризонтални асимптоти.
Вертикална асимптота: нямаме някаква точка [tex]c[/tex] така че [tex]\lim_{x\to c}(\frac{2}{9}x\sqrt{x}-x)=\infty[/tex].
Наклонена асимптота: [tex]\lim_{x\to +\infty}\frac{y}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{2}{9}x\sqrt{x}-x}{x}=\lim_{x\to +\infty}(\frac{2}{9}\sqrt{x}-1)=+\infty[/tex], значи нямаме наклонени асимптоти.

Графиката е прикачена.

[Гост]

Благодаря Ви!