Хубава задачка с граница

[pipi langstrump]

Пресметнете [tex]\lim_{n\to\infty } n\left(\frac{1^{\alpha } + 2^{\alpha } +...+ n^{\alpha }}{n^{\alpha +1 }} - \frac{1}{ \alpha + 1 }\right) \, , \alpha > 1[/tex]

[Knowledge Greedy]

При [tex]\alpha =1, \alpha =2[/tex] и при [tex]\alpha =3[/tex] границата се получава все [tex]\frac{1}{2}[/tex].

Следва прибързана хипотеза:
За всяко [tex]\alpha, \alpha \ge 1[/tex] границата [tex]\lim_{n\to\infty }n(\frac{1^\alpha +2^\alpha +...+n^\alpha}{n^{\alpha+1} }-\frac{1}{\alpha+1 })=\frac{1}{2}[/tex].

[pipi langstrump]

Хипотезата ти е вярна, но трябва да се докаже. И Ферма е предполагал, че редицата [tex]2^{2^n} + 1[/tex] поражда прости числа, но Ойлер е показал, че[tex]2^{2^5} + 1[/tex] се дели 641.