разлика между пълен диференциал и диференциал от 2-ри ред

[Гост]

Някой може ли да напише с две думи разликата между пълен диференциал и диференциал от 2-ри ред. Благодаря предварително.

[ammornil]

Пълен диференциал е сумата от частните диференциали от определен ред на диференциране. Имаме (ако съществуват) пълен диференциал от първи ред, пълен диференциал от втори ред и т.н.

Диференциал от втори ред е твърде общо казано и представлява функция на производни от втори ред. Може да бъде пълен или частен в зависимост от това какво включва в себе си.

[Гост]

И на мен ми се ще някой да обясни адекватно какво са тия диференциали от по-висок ред. Първия се учи, че е една линейна форма, а втория, че е квадратична форма. Е как така става това? А какво тогава е диференциал от трети ред, кубична форма или какво? А от н-ти ред?

[matst]

1. диференцируема функция в дадена точка
[tex]f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)=f(x_0,y_0)+A\Delta x+B\Delta y+o(max(\Delta x, \Delta y))[/tex]
където [tex]o(max(\Delta x, \Delta y))[/tex] представлява безкрайно малка величина в
сравнение с [tex]max(\Delta x, \Delta y)[/tex] при [tex]max(\Delta x, \Delta y)\to 0[/tex].
Аргументите на функцията са независимите променливи [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex].
2. после се получава
[tex]f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)=f(x_0,y_0)+f'_x(x_0,y_0)\Delta x+f'_y(x_0,y_0)\Delta y+o(max(\Delta x, \Delta y)).[/tex]
3. после се дефинира диференциал на независима (!) променлива [tex]x[/tex], [tex]y[/tex], ... чрез
[tex]{\mathrm {d}}x=\Delta x[/tex], [tex]{\mathrm {d}}y=\Delta y[/tex] ...
Коментар. Има учебници дето пише, че се пресмята [tex]{\mathrm {d}}x=\Delta x[/tex], но истината е, че се дефинира [tex]{\mathrm {d}}x=\Delta x[/tex], ... ([tex]x[/tex] е независима променлива)
4. после се дефинира тотален диференциал
(това е диференциалът от първи ред) на функция
[tex]{\mathrm {d}}f(x_0,y_0)=f'_x(x_0,y_0){\mathrm {d}}x+f'_y(x_0,y_0){\mathrm {d}}y[/tex]
като аргументите на функцията са независимите променливи [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex]
и [tex]{\mathrm {d}}f[/tex] е изчислен при [tex]x=x_0[/tex] и [tex]y=y_0[/tex]
5. сега изненадани плясваме с ръце и пишем
[tex]f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x,y)=f'_x(x_0,y_0){\mathrm {d}}x+f'_y(x_0,y_0){\mathrm {d}}y+o(max(\Delta x, \Delta y))[/tex]
и
[tex]\Delta f(x_0,y_0)=f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x,y)={\mathrm {d}}f(x_0,y_0)+o(max(\Delta x, \Delta y))[/tex]
6. редно е да се напомни, че формулите от т.4 и т.5 са в сила при условие, че аргументите на функцията са независимите променливи [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex]
7. формулите за частни производни на съставна функция позволяват да се обобщят формулите от т.4 и т.5 в случая когато [tex]x=x(u,v)[/tex], [tex]y=y(u,v)[/tex]. Характерно е, че се получават формули, които на външен вид са напълно съвпадащи с тези от т.4 и т.5
8. извежда се формулата на Тейлър и се получава нещо от сорта на т.2
9. В частния случай, когато аргументите на функцията са независимите променливи [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] се прави обобщение на формулите от т.4 и т.5 като се следват събираемите от формулата на Тейлър и за целта се дефинират диференциалите от втори и по-висок ред.
Например, вторият диференциал е
[tex]{\mathrm {d}}^2f(x_0,y_0)=f''_{xx}(x_0,y_0)({\mathrm {d}}x)^2+2f''_{xy}(x_0,y_0){\mathrm {d}}x{\mathrm {d}}y+f''_{yy}(x_0,y_0)({\mathrm {d}}y)^2[/tex]
като аргументите на функцията са независимите променливи [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex]
и [tex]{\mathrm {d}}^2f[/tex] е изчислен при [tex]x=x_0[/tex] и [tex]y=y_0[/tex]
10. след това се извеждат формули за диференциалите от втори и по-висок ред в случая когато [tex]x=x(u,v)[/tex], [tex]y=y(u,v)[/tex]. Например, за втория диференциал се получава
[tex]{\mathrm {d}}^2f(x_0,y_0)=f''_{xx}(x_0,y_0)({\mathrm {d}}x)^2+2f''_{xy}(x_0,y_0){\mathrm {d}}x{\mathrm {d}}y+f''_{yy}(x_0,y_0)({\mathrm {d}}y)^2 + f'_x(x_0,y_0){\mathrm {d}}^2x+f'_y(x_0,y_0){\mathrm {d}}^2y[/tex]
Вижда се, че се получава формула, която на външен вид се различава от формулата в т.9

Отговор: дългият отговор е 1-10. Кратък отговор може да е съпоставката м/у т.7 и т.10
външният вид на диференциалите е различен като се сравняват в случая когато [tex]x[/tex], [tex]y[/tex] са независими променливи по сравнение със случая когато [tex]x=x(u,v)[/tex], [tex]y=y(u,v)[/tex] с независими променливи [tex]u[/tex], [tex]v[/tex].

Ако това се разпише с точни формулировки, термини и се приведат примери то
сигурно ще се получат бая печатни страници (поне 5).

11. това съчинение може да се разкаже и от геометрична гледна точка - има разни
допирателни(тангенциални) пространства, индуцирани линейни изображения в тях;
от абстрактна гледна точка има линейни оператори и т.н. Може също така да се изприказват и приказки за главни линейни части от нарастването или 2! по главната квадратична част от еди какво си и т.н. Всеки такъв разказ има своите силни и слаби страни, но на мен най-много ми
допада 1-10.