F(x) e примитивната на функцията f(x)=(5x^5+1)/(x^6+x^4+1)

[andrea_doll]

Нека F(x) e примитивната на функцията f(x)=(5x^5+1)/(x^6+x^4+1). Пресметнете lim(F(x^2)/lnx), x клони към +∞ .
Примитивната и интеграла от функцията, нали така? И ако да, как се намира интеграл от (5x^5+1)/(x^6+x^4+1)?

[Гост]

В случая не е изгодно да се смята този интеграл, а и не е нужно. Тази граница може да се сметне с правилото на Лопитал, обаче първо човек трябва да види, че се получава неопределеност, която позволява да се приложи това правило. После само се диференцират числителя и знаменателя, отчита се че F'=f, и готово. Обаче трябва и да се разбира правилото за диференциране на съставна функция. Така границата се свежда до смятане на граница на частно на два полинома. За да види човек, че може да се приложи Лопитал разглеждаме примитивната [tex]F(x)=\int_0^xf(t)dt=\int_0^x\frac{5t^5+1}{t^6+t^4+1}dt[/tex], която приема стойност 0 при х=0 (Знаем, че една непрекъсната функция, каквато е f, може да има много примитивни и всички те се отличават с константа, така че си избираме една, и за удобство избираме тази дето се нулира при х=0). Имаме, че [tex]\int_0^xf(t)dt=\frac{5}{6}\int_0^x\frac{d(t^6+t^4+1)}{t^6+t^4+1}-\frac{10}{3}\int_0^x\frac{t^3}{t^6+t^4+1}dt+\int_0^x\frac{dt}{t^6+t^4+1}[/tex]. Първия интеграл дава [tex]\frac{5}{6}\ln(x^6+x^4+1)[/tex], а другите два са сходящи при [tex]x\to\infty[/tex], (проверява се лесно), значи [tex]F(x)\to\infty[/tex] при [tex]x\to\infty[/tex].

[andrea_doll]

Не сме взимали определени интеграли, би трябвало да има някакво решение само с неопределени.

[Гост]

Е то как се учи неопределен интеграл, без да се знае какво е определен интеграл не знам, явно лекциите нещо не се водят като хората, (често срещана практика, между другото). То това е най-важното за интегралите, знаменитата теорема на Нютон-Лайбниц, която изяснява връзката между определен и неопределен интеграл и обяснява защо аджеба диференцирането и интегрирането са взаимно обратни операции. Както и да е. Решението без "определени" интеграли е сляпо прилагане на правилото на Лопитал.

[Гост]

A как да докажем, че F(0) = 0?

[Гост]

Грешен въпрос зададох, извинявам се И все пак - как се доказва, че е неопределеност?

[Гост]

Еми то горе е написано как, и е направено. Земи чети

[andrea_doll]

Аз не разбрах как се намира F(x)? След това като се намери се замества в границата и се намира чрез Лопитал-това разбрах.

[Гост]

Не се намира F(x), не е нужно за намирането на границата, (за да се намери F, трябва да се сметне интегралът [tex]\int f(x)dx[/tex], което на практика ми изглежда леко невъзможно, както е зададен). Иначе границата се смята така:[tex]\lim_{x\to\infty}\frac{(F(x^2))'}{(\ln x)'}=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x^2)2x}{\frac{1}{x}}[/tex].

[andrea_doll]

И тази граница на колко е равно? И другото условие е намерете lim (F(4x)-F(x))/x като х клони към 0. Не трябва ли да знам колко е F(x), за да намеря тези граници или директно прилагам Лопитал и спирам?

[some0ne]

Не се намира F(x), не е нужно за намирането на границата, (за да се намери F, трябва да се сметне интегралът [tex]\int f(x)dx[/tex], което на практика ми изглежда леко невъзможно, както е зададен). Иначе границата се смята така:[tex]\lim_{x\to\infty}\frac{(F(x^2))'}{(\ln x)'}=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x^2)2x}{\frac{1}{x}}[/tex].

защо [tex]\lim_{x\to\infty}\frac{(F(x^2))'}{(\ln x)'}=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x^2)2x}{\frac{1}{x}}[/tex]
не трябва ли [tex]\lim_{x\to\infty}\frac{(F(x^2))'}{(\ln x)'}=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x^2)}{\frac{1}{x}}[/tex]

[Гост]

Не, не трябва. Горе е казано, че трябва да се разбира теоремата за диференциране на съставна функция.

[andrea_doll]

Значи правя така--> lim (5x^10+1)*2x/((x^12+x^8+1))/(1/x))= lim 10x^11+2x/(x^11+x^7+(1/x)), като изнеса отгоре и отдолу x^11 се получава 10. Така ли е?