Разлика с константа

[Hannibal]

Така имам следния неопределен интеграл
[tex]\int_{}^{ } \frac{1}{ {\left(1+x^2\right)}^2}dx =\int_{}^{ } \frac{1}{ {x^{4}\left( 1+\frac{1}{x^2 }\right)^2 }}dx=
-\frac{1}{2 }\int_{}^{ } \frac{1}{x \left( 1+\frac{1}{x^2 }\right)^2}d\left(1+ \frac{1}{ x^2} \right)=\frac{1}{2 }\int_{}^{ } \frac{1}{x} d\left(1+ \frac{1}{ x^2} \right)^{-1}=\\ =\frac{x}{2(x^2+1) }-\frac{1}{2 }\int_{}^{ } \frac{1}{ 1+\frac{1}{x^2 }}d\frac{1}{ x}=\frac{x}{2(x^2+1) }=\frac{x}{2(x^2+1) }-\frac{1}{ 2}arctg\frac{1}{ x}+ C[/tex]
Но отговора, който е даден е:
[tex]\frac{x}{2(x^2+1) }+\frac{1}{ 2}arctg (x)[/tex]
И сега въпроса ми възможно ли е двата отговора да се различават с константа, защото например ако ги извадим:
става:
[tex]\left(\frac{x}{2(x^2+1) }-\frac{1}{ 2}arctg\frac{1}{ x}\right)-\left(\frac{x}{2(x^2+1) }+\frac{1}{ 2}arctg (x)\right)=
-\frac{1}{ 2}arctg\frac{1}{ x}-\frac{1}{ 2}arctg (x)=-\frac{1}{2 } \left( arctg\frac{1}{x }+arctg(x) \right)[/tex]
И като му сложим произволни радиани x=7 н.р. и стават 7 и [tex]\frac{1}{7 }[/tex] :
[tex]arctg\frac{1}{7 }+arctg(7) =8,13010^\circ +81,86989^\circ=90^\circ =\frac{\pi }{2 }[/tex], което по [tex]-\frac{1}{2 }[/tex] е константа ,но това не е доказателство дори и да е вярно. Как да докажа, че сбора на [tex]arctg\frac{1}{x }+arctg(x) =\frac{\pi }{2 }[/tex]

[mkmarinov]

[tex]x=tgb => \frac{1}{x}=cotgb[/tex]
[tex]arctg(x)+arctg(\frac{1}{x})=arctg(tg(b))+arctg(cotg(b))=b+\frac{\pi}{2}-b=\frac{\pi}{2}[/tex]

(Тангенсите на комплементарни ъгъли са реципрочни)

[pipi langstrump]

Създаваш си излишни главоболия

[tex]-\frac{1}{2 }\int \frac{1}{1+\frac{1}{x^2 }}d\frac{1}{x} = \frac{1}{2 }\int \frac{1}{1+x^2}dx = \frac{1}{2 } \operatorname{arctg} x[/tex]

Освен това [tex]\operatorname{arctg} x + \operatorname{arctg} {\frac{1}{x}} = \frac{\pi }{2}[/tex] само при [tex]x>0[/tex] иначе е [tex]\frac{-\pi }{2}[/tex]

[Hannibal]

Много Ви благодаря, много ми помогнахте.