Област на сходимост

[uchenik75]

Някой може ли да помогне със следната задача, в която се търси областта на сходимост:
[tex]\sum_{1}^{\infty } \frac{(-1)^{n+1}}{2n-1 }\frac{(1+x)^{2^n}}{(1-x)^{2^n} }[/tex]
така правя следното:
[tex]R=lim| \frac{(-1)^{n+1}}{2n-1 }\frac{2n+1}{(-1)^n(-1)^2 } |=lim \frac{2n+1}{2n-1 } =1[/tex]
и полагам [tex]\frac{1+x}{1-x } =t[/tex]
от неравенството [tex]-1\le \frac{1+x}{1-x }\le 1[/tex] получавам 0≤x≥1 --> (тук може нещо да съм объркал)
и сега при x=-1 и x=1 трябва да проверя съответно получените суми да ли са сходящи. Но при x=-1 за сумата получавам 0.
Някой да ме поправи ако греша или да даде съвет как да я реша. Благодаря предварително.

[matst]

Относно функционалния ред: трябва да се положи [tex]t=\Bigl( \frac{1+x}{1-x}\Bigr)^2[/tex], после [tex]R[/tex] се пресмята така както сте го направили и, наистина, [tex]R=1[/tex]. Неравенството [tex]|\frac{1+x}{1-x}|<1[/tex] има решение [tex]x\in(-\infty; 0)[/tex] (виж Заб.1, по-долу). При [tex]x=0[/tex] се изследва сходимостта на алтернативния ред [tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2n-1}[/tex] и това е сходящ ред, според признака на Лайбниц.

Така търсената област на сходимост е [tex]x\in(-\infty; 0][/tex].

Заб. 1. Графиката [tex]y=y(x)=\frac{1+x}{1-x}[/tex] при [tex]x\in[-6,5; +6,5][/tex] с изчертаване на
точките [tex](x,y)[/tex], за които [tex]y\in[-1;+1][/tex] е на адрес http://fooplot.com/plot/sgu87ukrpm (копие има на Чертеж 1, разположен по-долу) .
Преценява се "на око", че решението на неравенството [tex]|y(x)|< 1[/tex] е
[tex]x\in(-\infty; 0)[/tex].

Аналитично, стандартно и без хитрости, неравенството [tex]|y(x)|< 1[/tex] е
с деф. мн-во [tex]x\neq1[/tex] и е еквивалентно на система от неравенства
[tex]\left|\begin{array}{l}
\frac{1+x}{1-x}<1 \\
\frac{1+x}{1-x}>-1\\
x\neq1
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\left|\begin{array}{l}
\frac{1+x}{1-x}-1< 0 \\
\frac{1+x}{1-x}+1> 0\\
x\neq1
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\left|\begin{array}{l}
\frac{2x}{1-x}< 0 \\
\frac{2}{1-x}> 0\\
x\neq1
\end{array}\right.[/tex]
според третото неравенство [tex]1-x\neq0[/tex] и се разширяват дробите в първото и второто неравенство по [tex]1-x[/tex]. В знаменателите на тези дроби се получава квадратът
[tex](1-x)^2>0[/tex] . Следователно,
[tex]... \Longleftrightarrow\left|\begin{array}{l}
x(1-x)< 0 \\
1-x> 0\\
x\neq1
\end{array}\right.[/tex]
Второто и третото неравенство, заедно, са еквивалентни на [tex]1-x>0[/tex].
[tex]... \Longleftrightarrow\left|\begin{array}{l}
x(1-x)<0 \\
1-x> 0\\
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\left|\begin{array}{l}
x< 0 \\
x<1
\end{array}\right.[/tex]
Следователно, решението на [tex]|y(x)|<1[/tex] е [tex]x\in(-\infty;0)[/tex].