Локални екстремуми и граници

[Гост]

1. Локален екстремум
Може да бъде както локален максимум, така и локален минимум.
Теорема 1: Функцията [tex]f[/tex] има локален екстремум в точката [tex]x_0[/tex] тогава и само тогава когато са изпълнени следните две условия:
1) [tex]f'(x_0)=0[/tex]
2) [tex]f'(x)[/tex] си сменя знака (от положителна става отрицателна или от отрицателна в положителна) в точката [tex]x_0[/tex]
Теорема 2: Нека фунцкията [tex]f(x)[/tex] има локален екстремум в точката [tex]x_0[/tex]. Той е локален максимум, ако първата производна си сменя знака от положителен в отрицателен, а е локален минимум, ако първата производна си сменя знака от отрицателен към положителен.
Пример 1: Локални екстремуми на [tex]f(x)=x^2[/tex]
Решение: Намираме първата производна [tex]f'(x)=2x[/tex]. (условие 1) Тя е равна на 0, когато [tex]2x=0\Leftrightarrow x=0[/tex]. (условие 2) Тъй като [tex]f'(x)<0\Leftrightarrow 2x<0\Leftrightarrow x<0[/tex] и [tex]f'(x)>0\Leftrightarrow x>0[/tex], то първата производна си сменя знака в [tex]x_0[/tex] и значи [tex]x_0[/tex] е точка на локален екстремум. Сега, тъй като преди 0 първата производна е отрицателна, а след 0 е положителна, това е локален мимимум.
Пример 2: Локални екстремуми на [tex]f(x)=x^3[/tex]
Решение: Имаме [tex]f'(x)=3x^2[/tex]. (условие 1)Анулира се при [tex]3x^2=0\Leftrightarrow x=0[/tex]. (условие 2) Първата производна е по-малка от 0 при [tex]3x^2 <0[/tex], което няма решение и е по голяма от 0 при [tex]3x^2>0[/tex] което е вярно за [tex]x\ne 0[/tex]. В крайна сметка първата производна е винаги неотрицателна и значи не си сменя знака. Значи [tex]x_0=0[/tex] НЕ Е локален екстремум.
Забележка 1: За условие 1 се казва, че е необходимо. С условие 2 получаваме достатъчност за наличие на локален екстремум.
Забележка 1: Нарича се ЛОКАЛЕН екстремум, понеже показва поведението на фунцията ОКОЛО една точка. Под около може да се разбира много малка околност на точката.

2. Граници
Основното, което се ползва при намиране на граници е че [tex]\frac{1}{0}[/tex] е някаква безкрайност и че [tex]\lim_{x\to \infty}=\infty[/tex]. Ако помните в училище са ни учили, че на 0 не се дели. Когато стане дума за граници израз като [tex]\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}[/tex] вече има смисъл. Отново не делим на 0 - пуснали сме [tex]x[/tex] да става много близо до 0, може би за да разберем какво толкова интересно има в това да делим на 0. Това изследване (намиране на границата) особено знаейки че фунцията [tex]\frac{1}{x}[/tex] е непрекъсната отляво и отдясно на 0-лата ни помага по добре да опишем една фунцията, даже когато тя не е дефинирана някъде, както тук - в 0.

[Гост]

продължение...
За да разбереш границите засега си ги представи така [tex]\lim_{x\to a}f(x)[/tex] си го представи като все едно да се движиш по абсцисата към точката [tex]a[/tex] без реално да я достигаш и същевременно да гледаш стойността на [tex]f(x)[/tex] как се движи по ординатата.
Помисли защо следните граници са верни
[tex]a) \lim_{x\to 0}\frac{1}{x}=\infty[/tex], [tex]b) \lim_{x\to 0}{x}=0[/tex], [tex]c) \lim_{x\to 5}{x}=5[/tex], [tex]d) \lim_{x\to 1}\frac{1}{x-1}=\infty[/tex]
[tex]\rightarrow[/tex] например за първата: [tex]x[/tex] става много малко,много близо до 0 ... например нека почнем с [tex]x=1[/tex] и намаляваме като делим на 2: съответните стойности са [tex]\frac{1}{1}, \frac{1}{\frac{1}{2}}=2, \frac{1}{\frac{1}{4}}=4, \frac{1}{\frac{1}{8}}=8, \frac{1}{\frac{1}{16}}=16, \frac{1}{\frac{1}{32}}=32,..[/tex] - общо взето като делим число с нещо много малко получаваме нещо много голямо.
[tex]\rightarrow[/tex] по същата логика [tex]\lim{x\to \infty}\frac{1}{x}=0[/tex] - тук делим едно число на нещо много голямо, затова получаваме 0.
Разбира се това са много интуитивни обосновки, колкото да разбереш.
[tex]\rightarrow[/tex] [tex]\lim_{x\to 5}{x}[/tex]. Тук гледаме каква е стойността на [tex]f(x)=x[/tex], когато приближаваме [tex]x[/tex] до 5. Ами тя е 5.
[tex]\rightarrow[/tex] Малко по-сложно [tex]\lim_{x\to 1}\frac{1}{x-1}[/tex]. Като заместиш [tex]x=1[/tex] имаме [tex]\frac{1}{1-1}=\frac{1}{0}[/tex] което е много голямо, т.е. границата е безкрайност.
Теорема 1: Има аритеметика с граници: [tex]\lim_{x\to a}f(x)g(x)=\lim_{x\to a}f(x)\lim_{x\to a}g(x)[/tex], [tex]\lim_{x\to a}[(f(x)\pm g(x))=\lim_{x\to a}f(x)\pm \lim_{x\to a}g(x)[/tex], [tex]\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)},[/tex] ако [tex]\lim_{x\to a}g(x)\ne 0[/tex] (за последната граница с деленето).

3. Малко по-сложни граници
[tex]\rightarrow[/tex] [tex]\lim_{x\to 3}\frac{x^2}{x}=\frac{9}{3}=3[/tex]. Но [tex]\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=\frac{0}{0}[/tex], се счита за неопределеност при намиране на граници. Само че тук можехме да съкратим: [tex]\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=\lim_{x\to 0}x=0[/tex] е вярното - винаги съкращаваме ако можем.
[tex]\rightarrow[/tex][tex]\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4x+4}{x-2}[/tex] пак ще получим [tex]\frac{0}{0}[/tex]. От друга страна като съкратим [tex]\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)^2}{x-2}=\lim_{x\to 2}(x-2)=0[/tex]
[tex]\rightarrow[/tex][tex]\lim_{x\to 2}\frac{x^2-3x+2}{x-2}[/tex] пак ще получим [tex]\frac{0}{0}[/tex]. От друга страна като съкратим [tex]\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x-1)}{x-2}=\lim_{x\to 2}(x-1)=1[/tex]


изморих се