Сума

[Zlatinster]

[tex]\sum_{\infty }^{n}\frac{1}{n(n+1)}[/tex]
Някой ще ми я разпише ли чрез коефициенти A и B и нормално например [tex]\frac{1}{1.2 }+\frac{1}{2.3}+... 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...[/tex]

[Flame]

[tex]\sum_{\infty }^{n}\frac{1}{n(n+1)}[/tex]
Някой ще ми я разпише ли чрез коефициенти A и B и нормално например [tex]\frac{1}{1.2 }+\frac{1}{2.3}+... 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...[/tex]

[tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(1+n) }=\sum_{n=1}^{\infty }(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} )=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n+1}[/tex]- сега развиваме двете суми до някоя текуща стойност к.
[tex]\sum_{n=1}^{k }\frac{1}{n } =\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{k}[/tex]
[tex]\sum_{n=1}^{k }\frac{1}{n+1} =\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}[/tex]
Нека заместим в горното уравнение:

[tex]\sum_{n=1}^{k }(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4 }+...+ \frac{1}{k}-\frac{1}{k }-\frac{1}{k+1}[/tex]
[tex]\sum_{n=1}^{k }(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=1-\frac{1}{k+1}[/tex]
И остава да направим граничен преход.
[tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)} =\lim_{k\to\infty }{1-\frac{1}{k+1}}=1[/tex]