Задачи от сума 1

[Zlatinster]

1.Да се намерят n-тата парциална сума и сумата на реда [tex]\sum_{n=2}^{\infty}/\frac{5n-2}{(n-1)n(n+2)}[/tex]
2.Да се изследват за сходимост следните редове:[tex]\sum_{n=1}^{ \infty }\frac{1.3.5...(2n-1)}{3^{n}(n+1)!},\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)2^{2n}}[/tex]
3.Да се определи интервалът на сходимост на степенния ред [tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}[/tex]
4.Да се намери сумата на реда [tex]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{(n+1)(n+2)}[/tex]
5.Да се развие в степенен ред около точката [tex]x_{0}[/tex] функцията [tex]y=2xcos^{2}(\frac{x}{2})-x[/tex]
Ще съм Ви благодарен,ако някой ги реши.

[pipi langstrump]

Ще реша само 4, другите са лесни:

[tex]\frac{x^{n+2}}{(n+1)(n+2)} = x\frac{x^{n+1}}{n+1} - \frac{x^{n+2}}{n+2}[/tex]

Но [tex]\sum_{n=1}^{\infty } \frac{x^n}{n} = -\ln(1-x)[/tex] за [tex]x\in [-1:1)[/tex] следвателно

[tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^{n+2}}{(n+1)(n+2)} = x - \frac{x^2}{2} + (1-x)\ln(1-x) \, ,x\in [-1:1)[/tex]

П.П. Редът е сходящ и при x = 1, но този случай се разглежда отделно.

[Zlatinster]

решаваме някакви супер елементарни и не мога да ги хвана тези затова ако може някой да разпише и другите да разбера начините за решаване

[Zlatinster]

Може ли да ми разпишеш 1ва задача и 5та

[pipi langstrump]

За първа задача разгледай тази тема. За последната използвай формулата [tex]cos^2{\frac{x}{2} } = \frac{1 + cos x}{2}[/tex]. Ако не се сетиш за тая формула, може да развиеш косинуса и да го повдигнеш на квадрат по правилото на Коши. Би трябвало да се получи същото.

[Zlatinster]

мерси

[Zlatinster]

1ва задача я решавам така

намирам A=1;B=1;C=-2

=>[tex](\sum_{n=2}^{\infty }\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}-\frac{2}{n+2}=(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{2}{4})+(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{2}{5})+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{2}{6})+(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{2}{7})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{2}{8})[/tex]
+...+
[tex](\frac{1}{n-4 }+\frac{1}{n-3 }-\frac{2}{n-1 })+(\frac{1}{n-3}+\frac{1}{n-2 }-\frac{2}{n })+(\frac{1}{n-3 }+\frac{1}{n-1 }-\frac{2}{n+1 })+(\frac{1}{n-2 }+\frac{1}{n }-\frac{2}{n+2 })[/tex]

Как да съкратя?

За 2ра задача използвам за а)Правилото на Даламбер и получих [tex]lim_{n->\infty}\frac{2n+1}{n+2}=2[/tex]
за б)Използвам Правило на Лайбниц където са изпълнени и двете условия за [tex]lim_{n->\infty}[/tex] [tex]\frac{1}{n+1}2^{2n}=0[/tex]
Вярно ли е ?1вата как да я направя ?
и 2рото [tex]\frac{1}{n+1}2^{2n}>\frac{1}{n+2}2^{2n+2}[/tex]

[Zlatinster]

Решете ми първата,ако може.

[pipi langstrump]

Разгледа ли добре метода? Разбра ли го?

[Zlatinster]

е моя не е ли верен къде ми е грешката ?

[pipi langstrump]

Е, ако можеш, давай с него, ако не стане, значи методът не действа.

[Zlatinster]

Кажи ми дали е верен съкращавам-2/4 от 1вата скоба 1/3 -2/5 от 2рата 14 -2/6 от 3тата 1/4 1/5 от 3тата и 1/5 от 4тата и сега да ги субера ли?Нещо ме съмнява да е вярно.

[Zlatinster]

Ще ми помогнете ли ?

[Zlatinster]

Добре,ако използвам метода,който ми каза
получавам [tex]\sum_{n=2}^{\infty}/\frac{5n-2}{(n-1)n(n+2)}=\frac{5}{(n-1)(n+2)}-\frac{2}{(n-1)n(n+2)}=\frac{5}{(n-1)(n+2)}-\frac{(n+2)-n}{(n-1)n(n+2)}[/tex]
=>[tex]\frac{5}{(n-1)(n+2)}-\frac{1}{(n-1)n}+\frac{1}{(n-1)(n+2)}[/tex]
така ли да продължа ? и нали нямам право да изнеса от 1вата част 5 пред сумата а трябва с петицата да разписвам като имам предвид,че трябва да замествам с n=2

[Breed]

[tex]\sum_{n=0}^{\infty}%20\frac{x^{n+2}}{(n+1)(n+2)}[/tex]

U1 = [tex]\frac{x^2}{2}[/tex]
U2 = [tex]\frac{x^3}{6}[/tex]
U3 = [tex]\frac{x^4}{12}[/tex]

Диференцираме:

U1' = [tex]2.\frac{x^{2-1}}{2} = x[/tex]

U2' = [tex]3.\frac{x^{3-1}}{6} = \frac{x^2}{2}[/tex]

U3' = [tex]\frac{x^3}{3}[/tex]
След повторно диференциране:

U1'' = 1
U2'' = x
U3 = [tex]x^2[/tex]

[tex]S'' = \frac{1}{1-x}[/tex]
[tex]S' = \int{}{\frac{1}{1-x}dx} = -ln|1-x|[/tex]
[tex]S = \int{}{-ln|1-x|dx} = -x.ln|1-x| + \int{}{xdln|1-x|} = -x.ln|1-x| + \int{}{\frac{1 - x + 1dx}{1-x}} = \\ -x.ln|1-x| + \int{}{dx} - \int{}{\frac{dx}{1-x}} = -x.ln|1-x| + x + ln|1-x| = x + (1-x).ln|1-x|[/tex]