Малко помощ за интеграли

[Dimitur]

Здравейте , за начало искам да се извиня за глупавите въпроси който смятам да задам , но все пак трябва да започна от някаде и ще съм ви страшно задължен ако ми окажете съдействие. Благодаря предварително
Та значи ситуацията е следната: Решаване на интеграли - за който незнам почти нищичко, чета лекций (мой и на хора който са си направили труда да улеснят такива като мен ) , но уви. Да започна с най-общите неща примерно :

Да се пресметне интеграла : [tex]\int_{}^{ }[/tex]tgxdx и така от каде се започва и кое какво е ?
1.[tex]\int_{}^{ }[/tex] -Това е знака за интеграл , просто ме информира ,че си имам работа с интеграли и през цялото решение на задача просто го преписвам да си напомням ,че става дума за интеграли.
2. tgx- Това вече е условието на интеграла
3. dx - А какво подяволите е това ? Във всички интеграли го пише и играе ли някаква роля в решението ?

Запознахме се с устройството на ингтеграла (а можеби не ) и вече трябва да се захване с самото му решение.Кой са етапите за решението му и общо взето каква е крайната цел ? Да се достигне до по-лесен интеграл който да има елементарно решение или пак съм в заблуда ?
пс: Както виждате страшно зле съм относно тези интеграли и ви умолявам за малко помощ. Много благодаря oтново.

[ganka simeonova]

Когато искаш да пъхнеш някаква функция зад диференциала, я внасяш с нейния си интеграл. Когато искаш да я изнесеш пред диференциала- с нейната производна.
[tex]\int_{}^{ } tgxdx=\int_{}^{ } \frac{sinx}{ cosx} dx=-\frac{}{ } \frac{1}{cosx } dcosx=-ln|cosx|[/tex]
Табличните интеграли можеш да ползваш също така, ако навсякъде в тях х се замени с f(x).
Аз ползвах, че [tex]\int_{}^{ } \frac{1}{ x} dx=ln|x|=>\int_{}^{ } \frac{1}{ cosx} dcosx=ln|cosx|[/tex]

[ganka simeonova]

Идеята е да достигнеш до табличен интеграл и да го приложиш. Тогава приключва и интегрирането. етодите са много и най- различни, в зависимост от функцията, която интегрираш.
Например, ако искаш да умножиш интеграла по цонстанта, трябва и да го разделиш. ожеш зад диференциала да прибавяш и изваждаш произволна константа.
Пример:
[tex]\frac{}{ } cos2xdx=\frac{1}{2 } \int_{}^{ } cos2xd2x=sin2x +C[/tex]- тук стигнах до табличен интеграл.
[tex]\int_{}^{ } (x+3)dx=\int_{}^{ } (x+3)d(x+3)=\frac{(x+3)^2}{2 } +C[/tex] Тук добавих константата 3, за да приложа пак табличен интеграл.

[Dimitur]

Ок , а може ли да помоля за решението на един интеграл и да е обяснено стъпка по стъпка кое какво е как се представя и защо , надявам се ,че не ставам прекалено нагъл.

[ganka simeonova]

Може. Дай интеграла.

[Dimitur]

[tex]\int_{}^{ }[/tex] dx/sin3x
dx върху sin3x

[martin123456]

[tex]\int \frac{dx}{\sin(3x)}=\frac{1}{3}\int \frac{d3x}{\sin(3x)}=\frac{1}{3}\int\frac{dy}{\sin(y)}[/tex]
[tex]\int\frac{dy}{\sin(y)}=\int\frac{d\frac{y}{2}}{\sin(\frac{y}{2})\cos(\frac{y}{2})}=[/tex][tex]\int\frac{d\frac{y}{2}}{tg(\frac{y}{2})\cos^{2}\frac{y}{2}}=\int \frac{dtg\frac{y}{2}}{tg\frac{y}{2}}=\ln(tg\frac{y}{2})[/tex]
=> отг [tex]\frac{1}{3}\ln(tg\frac{3x}{2})[/tex]

[martin123456]

здрасти, нямам такова време, понеже не знам колко време ти трябва за да ги разбереш
мога да ти съвети:
1) има таблични интеграли - това са интеграли, които можеш да използваш наготово. пример за такъв е [tex]\int{\sin{x}dx}=-\cos{x}[/tex]. табличните интеграли са около 20. целта е да достигаш до поне един такъв интервал. например, след сметки можеш да достигнеш до [tex]\int{\sin{x}dx} + \int{\frac{1}{x^2+1}dx}=-\cos{x}+tgx[/tex]. и двата интеграла в тази сума са таблични.
2) символът [tex]d[/tex] за който питаш се нарича знак на диференциал. изразът след него е всъщност "променливата" в интеграла! изразът може да е [tex]dx[/tex],[tex]d5x[/tex],[tex]d\ ln{x}[/tex]. значението му е подобно на това на производна: [tex]dx=(x)'=1[/tex], [tex]d5x=(5x)'=5[/tex], [tex]d\ lnx=(ln{x})'=\frac{1}{x}[/tex]. Как да се използва? - правилото е да се стремиш изразът след знак за интеграла да има променлива същатата като тази под диференциала. [tex]\int{\sin{x}dx}[/tex] е добър израз, понеже навсякъде има [tex]x[/tex], докато [tex]\int{\sin{2x}dx}[/tex], не е добър, понеже на едното място е [tex]x[/tex], а на другото е [tex]2x[/tex]. в последния случай трябва да се опиташ с някое правило да махнеш тази 2ка. както ти написах [tex]d2x=(2x)'=2[/tex], ето защо се сещаме да преобразуваме горния интеграл така:1)забелязваме че [tex]\int{\sin{2x}d(2x)}=2\int{\sin{2x}dx}[/tex]. значи нашият интеграл е [tex]\frac{1}{2}[/tex] от [tex]\int{\sin{2x}d(2x)}[/tex], който пък, ако положим [tex]y=2x[/tex] става табличния интеграл [tex]\int{\sin {y}dy}=-\cos{y}[/tex]. връщаме се към полагането и нашият интеграл става [tex]-\frac{1}{2}\cos{2x}[/tex].
Забележка: винаги можеш да провериш дали това което си получил е вярно, като намериш производна на резултата (интегрирането е обратно на диференцирането).
Проверка: [tex](-\frac{1}{2}\cos{2x})'=\frac{1}{2}\sin{2x}(2x)'=\sin{2x}[/tex]
3) за да стигнеш до няколко таблични интеграла (израз от тях) трябва да използваш поне едно свойство или теорема за преобразуване на интеграл. Такива са:
3.1.) обикновени (с тях директно интегриране)
а)[tex]\int{af(x)dx}=a\int{f(x)dx}[/tex], което ползвах горе
b)[tex]\int{f(x)+g(x)dx}=\int{f(x)dx}+\int{g(x)dx}[/tex]
Пример: [tex]\int{2^xdx}[/tex]. виждаме че сред табличните интеграли е [tex]\int{a^xdx}=\frac{a^x}{ln(a)}[/tex]. в нашавата задача [tex]a=2[/tex]. заместваме в отговора на табличния интеграл=> [tex]\frac{2^x}{\ln{2}}[/tex]
Пример: [tex]\int{\frac{2x}{x^2+1}dx}[/tex]. няма такъв табличен интеграл, но виждаме че има [tex]\int{\frac{1}{x^2+1}}=arctgx[/tex]. искаме да отстраним 2ката, за използваме табличния интеграл. прилагаме 3.1.а) => [tex]\int{\frac{2x}{x^2+1}dx}=2\int{\frac{1}{x^2+1}dx}=2arctgx[/tex]
3.2.)интегриране с внасяне под знака на диференциала
3.3.)интегриране по части

[sisester]

http://fmi.wikidot.com/anal
Може да разгледаш лекциите.Има интеграли и в първа и втора част на Математическия анализ.Дано ти е от полза.