Помощ за задачи по анализ II

[s7arw4rs]

Ако някой има желанието и свободното време, нека удари едно рамо, че анализа не ми е от любимите дисциплини

[Anubis]

Зад. 1. [tex]\int \int \int xy \operatorname{d}x \operatorname{dy} \operatorname{d}z = \int_{0}^{3} \left ( \int_{0}^{1-x} \left ( \int_{0}^{xy} xy \operatorname{d}z \right ) \operatorname{d}y \right ) \operatorname{d}x[/tex]

Това е стандартен троен интеграл, който се смята отвътре навън. Променливите, по които не интегрираме,

се считат за константи.

[tex]\int_{0}^{xy} xy \operatorname{d}z = x^2 y^2 \Rightarrow \int_{0}^{1-x} x^2 y^2 \operatorname{d}y = x^2 \cdot \frac{(1-x)^3}{3} \Rightarrow \int_{0}^{3} x^2 \cdot \frac{(1-x)^3}{3} = -\frac{183}{20}[/tex]

Зад. 4. [tex]\int_{a}^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \operatorname{d}x = \int_{a}^{+\infty} \ln x \operatorname{d}(\ln x) = \frac{(\ln x)^2}{2} |_{a}^{+\infty} = + \infty[/tex]

Зад. 5 няма да ти я решавам, защото тя е като зад. 1. Там само правиш смяната

[tex]x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi, \quad r \in [0; \, 3], \quad \varphi \in \left [ 0; \, \frac{\pi}{2} \right ][/tex], чиято матрица на Якоби е [tex]J=r[/tex].

Зад. 6. Уравнението [tex]x^2+y^2=a^2[/tex] при [tex]a=3[/tex] е уравнение на окръжност с център [tex](0; \, 0)[/tex] и радиус [tex]R=3[/tex].

Неравенството [tex]x^2+y^2 \le a^2[/tex] показва, че сме вътре в кръга, ограничен от окръжността. Лицето на кръг

с радиус [tex]R=3[/tex] е [tex]S=\pi R^2 = 9 \pi[/tex]. Понеже [tex]y \ge 0[/tex], гледаме само горния полукръг. Неговото лице е

[tex]S = \frac{\pi R^2}{2} = \frac{9 \pi}{2}[/tex].

[Anubis]

Зад. 2. [tex]y_{1}(x)=x^2-3, \quad y_{2}(x)=x; \, \quad y_{2}(x) \ge y_{1}(x)[/tex] в [tex][0; \, 1][/tex]

[tex]S = \int_{0}^{1} (y_{2}-y_{1}) \operatorname{d}x = \int_{0}^{1} \left ( x - (x^2-3) \right ) \operatorname{d}x = \frac{19}{6}[/tex]

[s7arw4rs]

Мерси много, Anubis!