Лопитал

[Гост]

Имам да намеря следната граница:
[tex]lim[x->\infty ,(1-\frac{2}{x})(^x/2)][/tex]
Ако въведа директно X ,получавам:
[tex]1^\infty[/tex]
Тоест трябва да преработя израза за да получа някоя от следните форми:
[tex]\frac{0}{0}[/tex] или [tex]\frac{\infty }{\infty }[/tex]
Слагам"натурален" логаритам,за да мога да "сваля" степента отпред:
[tex]lim[x->\infty ,\frac{x}{2}*ln(1-\frac{2}{x})][/tex]
Сега ако заместя X със [tex]\infty[/tex] получавам [tex]\infty*0[/tex]
Сега от тук знам че трябва да сваля нещо в знаменателя и предполагам ще получа [tex]\frac{0}{0}[/tex] или [tex]\frac{\infty }{\infty }[/tex] ,след това вече ще мога да приложа правилото на Лопитал, ще намеря производните ще заместя X и получения отговор ще положа като степен на e.Обаче не ми се получава,опитвам се да сваля [tex]\frac{x}{2}[/tex] в знаменателя и да реша задачата , но получавам всякакви безмислици.Проверих отговора е [tex]\frac{1}{e}[/tex] ,все не ми се получава , от поне 3 часа се опитвам.
Благодаря на всички за помощта.

[Добромир Глухаров]

[tex]\lim_{x\to\infty}\frac{ln\(1-\frac{2}{x}\)}{\frac{2}{x}}=\lim_{\frac{2}{x}\to 0}\frac{ln\(1-\frac{2}{x}\)}{\frac{2}{x}}=\lim_{u\to 0}\frac{ln\(1-u\)}{u}=\[\frac{0}{0}\]=\lim_{u\to 0}\frac{\frac{-1}{1-u}}{1}=-1[/tex]

[Гост]

[tex]f(x) = 1-\frac{2}{x}, \quad g(x) = \frac{x}{2}; \quad l = \lim_{x \to +\infty} \left [ f(x) \right ]^{g(x)} = \left [ 1^{\infty} \right ][/tex]

[tex]\Rightarrow l = e^{a}, \quad a = \lim_{x \to +\infty} g(x) \left ( f(x) - 1 \right )[/tex]

[tex]a = \lim_{x \to +\infty} -\frac{x}{2} \cdot \frac{2}{x} = -1 \Rightarrow l = \frac{1}{e}[/tex]

[Гост]

И сега ако някой обясни какво значи функция на степен друга функция, може и да разберем защо се смята така.

[Гост]

От Автора:
Искам да попитам първия отговорил (Добромир Глухаров):
Защо полагаш след това границата [tex]\frac{2}{x}[/tex] клони към 0? То всъщност си е така де , защото 2 делено на безкрайност си клони към 0 . След това виждам че слагаш u=[tex]\frac{2}{x}[/tex] и следващата стъпка е производните на числителя и знаменателя , но откъде получи тази минус 1-ца в числителя на производната на натуралния логаритъм? Производната на ln(1-u) не е ли [tex]\frac{1}{1-u}[/tex] ?
Във втория отговор също се появява някаква минус еденица , която не разбирам откъде.

[Добромир Глухаров]

[tex]f(x)=ln[g(x)]\Rightarrow f'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}\\g(x)=1-x;g'(x)=-1[/tex]