Граница на функция (Лопитал) 2

[ironsteel]

Здравейте.

Сблъскак се със голям проблем със една граница която не мога да я реша от много време насам,

и ето до къде съм стигнал:

[tex]\normal \lim_{x \to 0} (\frac{tanx}{arctgx })^{\frac{1}{sin^{2}x }} = [1^{\infty}][/tex]

[tex]\normal e^{\lim_{x \to 0} (\frac{1}{sin^{2}x}) * ln(\frac{tanx}{arctgx})[/tex]

Oт тук нататък няма да пиша е-то ,все едно че е там защото трудно се чете какво пише:

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{ln\frac{tanx}{arctgx}} {sin^{2}x} = \frac{0}{0}[/tex]

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{ln(1+(\frac{tanx}{arctgx}-1))}{sin^{2}x} = \frac{0}{0}[/tex]

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{\frac{tanx}{arctgx}-1}{x^{2}} = \frac{0}{0}[/tex]

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{\frac{tanx - arctgx}{arctgx}}{x^{2}} = \frac{0}{0}[/tex]

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{tanx - arctgx}{x^{2}arctgx} = \frac{0}{0}[/tex]

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{tanx - arctgx}{x^{3}} = \frac{0}{0}[/tex]

Прилагам Лопитал и става:

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{cos^{2}x}- \frac{1}{1+x^{2}}}{3x^{2}}[/tex]

И стигам до тук и колкото и да го мисля не мога даго измисля.
Превеждах под общ знаменател получава се нещо което изобщо не мога да го преобразувам щото не знам как .

Често съм използвал таблицата на еквивалентните безкрайно малки,и искам да попитам правилно ли съм я използвал.


Благодаря ви предварително!!

[seppen]

Мисля, че правилно решаваш.

Сега може да приложиш още веднъж Лопитал. //лош ход, аз лично производните ги бъркам, особено на контролните
[tex]\lim_{x\to 0} \frac{\frac{2\sin{x}}{\cos^3 x}+\frac{2x}{(1+x^2)^2}}{6x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{3x \cos ^3 x} + \lim_{x\to 0} \frac{1}{3 (1+x^2)^2} = \frac{2}{3}[/tex]

Под общ знаменател:
[tex]\lim_{x\to 0}\frac{1+x^2-\cos^2 x}{3x^2 \cos^2 x (1+x^2)}=\lim_{x\to 0} \frac{x^2 + (1+\cos x)(1-\cos x )}{3x^2 \cos^2 x (1+x^2)}=\lim_{x\to 0} \frac{x^2 + (1+\cos x)\frac{x^2}{2}}{3x^2 \cos^2 x (1+x^2)} = \frac{2}{3}[/tex]

Тук се използва, че [tex]\normal a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)[/tex].