Интеграл, който съм решил до някъде

[Гост]

интересува ме решението на интеграла с граници от 0 до 3:
корен от x .dx / (x^2 + 1 )

Пъврото действие е да положим x = t^2 и от там става
t. dt^2 / t^4 + 1
и вече не знам какво да правя. моля ви помогнете

[ammornil]

Нещо такова ми се върти по спомен:

[tex]\int_{0}^{3} \frac{x.dx}{x^2+1} \\
\cyr{DM} \hspace{12} x^{2}+1 \ne 0 \Rightarrow \forall x \in R \\
\int \frac{d\frac{x^{2}}{2}}{x^2+1}=\frac{1}{2}.\int \frac{d(x^2+1)}{x^2+1}=\frac{1}{2}.ln|x^2+1|+C \\
\int_{0}^{3} \frac{x.dx}{x^2+1} =\frac{1}{2}.ln|3^2+1|-\frac{1}{2}.ln|0^2+1|=\frac{1}{2}.ln|10|-\frac{1}{2}.ln|1|=\frac{1}{2}.ln10[/tex]

[Гост]

Колега като положим x=t^2, dx става dt^2 и ако внасяме X, който е пред d, вътре в него ще стане dt^3 / 3
Иначе аз мисля че t^4 може да го представим като (t^2)^2 и ще стане
t . dt^2 / (t^2)^2 + 1
от тук става табличния интеграл 1.dt / Т^2 + 1 , но вместо 1 имаме t
Резултата ще стане t.d arctg t^2 и от там са интегриране по части uv| - Интеграл vdu
така ли става?

[matst]

Стандартно, интегралът
[tex]\int \frac{2t^2}{t^4+1} dt[/tex]
се решава като се разложи подинтегралната функция
в сума от елементарни дроби
[tex]\frac{2t^2}{t^4+1}=\frac{At+B}{t^2-\sqrt{2}t+1}+\frac{Ct+D}{t^2+\sqrt{2}t+1}[/tex]
и после се интегрират елемнтарните дроби.

Обаче, може да се направи нещо друго. Именно,
[tex]\frac{2t^2}{t^4+1}=\frac{t^2+1}{t^4+1}+\frac{t^2-1}{t^4+1}[/tex]
и интегралите
[tex]J_1=\int \frac{t^2+1}{t^4+1} dt[/tex] ("плюс")
[tex]J_2=\int \frac{t^2-1}{t^4+1} dt[/tex] ("минус")
се решават чрез смяна на променливата:
[tex]u=t-\frac1t[/tex] ("минус") в [tex]J_1[/tex]
[tex]u=t+\frac1t[/tex] ("плюс") в [tex]J_2[/tex]
Изглежда малко изкуствено, но върши работа.

[Гост]

Нещо не разбирам как направи тези преобразувания

[Гост]

Кои преобразувания?

[Гост]

Аз - авторът на темата, не разбирам как се получиха горните преобразувания на matst

[ammornil]

А аз не разбрах защо го мъчите интеграла с полагане.