Производна от интеграл

[Гост]

Някой може ли да ми помогне с малко по-подробно обяснение как да намеря производната на това чудо?

proizv.PNG (3.06 KiB) Прегледано 631 пъти

[Добромир Глухаров]

Използва се формулата на Нютон-Лайбниц: [tex]\Phi'(x)=\frac{d}{dx}\Phi(x)=f(x)\Rightarrow \int_a^bf(x)dx=\Phi(b)-\Phi(a)[/tex]

[tex]F(x)=\int_{x^2}^{e^x}\frac{dt}{lnt}=\Phi(e^x)-\Phi(x^2)[/tex], където [tex]\Phi'(t)=\frac{1}{lnt}[/tex]

[tex]F'(x)=\Phi'(e^x).(e^x)'-\Phi'(x^2).(x^2)'=e^x.\frac{1}{lnt}\|_{t=e^x}-2x.\frac{1}{lnt}\|_{t=x^2}=\frac{1}{x}.e^x-2x.\frac{1}{2lnx}=\frac{e^xlnx-x^2}{xlnx}[/tex]

[Гост]

lim.PNG (4.12 KiB) Прегледано 611 пъти

Благодаря много! Може ли и за тази малко помощ? Трудно ми е самото интегриране.

[Добромир Глухаров]

Не ти трябва да интегрираш. Използвай Правило на Лопитал - след двукратно прилагане интегралите изчезват.

[Добромир Глухаров]

Накратко:

[tex]\lim_{x\to+\infty}\frac{\(\int_0^xe^{t^2}dt\)^2}{\(\int_0^xe^{2t^2}dt\)}\(\frac{+\infty}{+\infty}\)=\lim_{x\to+\infty}\frac{2\int_0^xe^{t^2}dt.e^{x^2}}{e^{2x^2}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2\int_0^xe^{t^2}dt}{e^{x^2}}\(\frac{+\infty}{+\infty}\)=\lim_{x\to+\infty}\frac{2.e^{x^2}}{2x.e^{x^2}}=0[/tex]

[Гост]

Как определи, че може да се прилага Лопитал?

[Гост]

Благодаря много! Разбрах!

[Добромир Глухаров]

Как определи, че може да се прилага Лопитал?

Честно казано, не съм сигурен, че може, а и отговорът, който съм получил, ме съмнява, че е верен .