2 задачи по ДИС

[luboslav.trenev]

1 Да се намери остатъкът при делението на полинома ф=x^n-1 с полинома g=x^3-2x^2 + x

2 да се изрази чрез p и q симетри4ната функция


∑=x[1]^(2)/(1+x[1]) +x[2]^(2)/(1+x[2])+x[3]^(2)/(1+x[3])

от корените x[1],x[2],x[3] на полинома ф=x^3+px+q
Благодаря не всеки за отделеното време

[Anubis]

[tex]\frac{3q-2p}{1+p-q}[/tex] за зад. 2?

[monika_at]

Толкова е.

[Anubis]

За полинома [tex]h(x)=x^3+px+q[/tex] използваме формулите на Виет.

[tex]\fbox{x_{1}+x_{2}+x_{3}=0}, \quad \fbox{x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}=p}, \quad \fbox{x_{1}x_{2}x_{3}=-q}[/tex]

[tex]\frac{x_{1}^2}{1+x_{1}} + \frac{x_{2}^2}{1+x_{2}} + \frac{x_{3}^2}{1+x_{3}}[/tex]

Привеждаме под общ знаменател.

[tex]\frac{x_{1}^2 \left ( 1+x_{3}+x_{2}+x_{2}x_{3} \right ) + x_{2}^2 \left ( 1+x_{3}+x_{1}+x_{1}x_{3} \right ) + x_{3}^2 \left ( 1+x_{2}+x_{1}+x_{1}x_{2} \right )}{\left ( 1+x_{2}+x_{1}+x_{1}x_{2} \right ) \left ( 1+x_{3} \right )} =[/tex]

[tex]= \frac{\left ( x_{1}^2+x_{1}^2 x_{3} + x_{1}^2 x_{2} + x_{1}^2 x_{2} x_{3} \right ) + \left ( x_{2}^2 + x_{2}^2 x_{3} + x_{1} x_{2}^2 + x_{1} x_{2}^2 x_{3} \right ) + \left ( x_{3}^2 + x_{2} x_{3}^2 + x_{1} x_{3}^2 + x_{1} x_{2} x_{3}^2 \right )}{1+x_{3}+x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{2}+x_{1}x_{2}x_{3}}[/tex]

Прегрупираме събираемите.

[tex]\frac{\left ( x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2 \right ) + \left ( x_{1}^2 x_{2} x_{3} + x_{1} x_{2}^2 x_{3} + x_{1} x_{2} x_{3}^2\right ) + \left ( x_{1}^2 x_{3} + x_{1}^2 x_{2} + x_{2}^2 x_{3} + x_{2}^2 x_{1} + x_{2} x_{3}^2 + x_{1} x_{3}^2\right )}{1 + \left ( x_{1}+x_{2}+x_{3} \right ) + \left ( x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{1} x_{3} \right ) + x_{1} x_{2} x_{3}} =[/tex]

[tex]= \frac{x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2 + x_{1} x_{2} x_{3} \left ( x_{1}+x_{2}+x_{3} \right ) + x_{3} \left ( x_{1}^2+x_{2}^2\right ) + x_{2} \left ( x_{1}^2+x_{3}^2 \right ) + x_{1} \left ( x_{2}^2+x_{3}^2 \right )}{1+p-q} =[/tex]

[tex]= \frac{\left ( x_{1}+x_{2}+x_{3} \right )^2 - 2 \left ( x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{1} x_{3} \right ) + x_{3} \left [ \left ( x_{1}+x_{2} \right )^2 - 2 x_{1} x_{2} \right ] + x_{2} \left [ \left ( x_{1}+x_{3} \right )^2 - 2 x_{1} x_{3} \right ] + x_{1} \left [ \left ( x_{2}+x_{3} \right )^2 - 2 x_{2} x_{3} \right ]}{1+p-q}[/tex].

Сега [tex]x_{3} \left [ \left ( x_{1}+x_{2} \right )^2 - 2 x_{1} x_{2} \right ] = x_{3} \left [ \left ( x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{3}\right )^2 - 2 \frac{x_{1} x_{2} x_{3}}{x_{3}}\right ] = x_{3} \left ( x_{3}^2 + \frac{2q}{x_{3}}\right ) = x_{3}^3 + 2q[/tex].

Аналогично [tex]x_{2} \left [ \left ( x_{1}+x_{3} \right )^2 - 2 x_{1} x_{3} \right ] = x_{2}^3 + 2q[/tex] и [tex]x_{1} \left [ \left ( x_{2}+x_{3} \right )^2 - 2 x_{2} x_{3} \right ] = x_{1}^3 + 2q[/tex].

И получаваме [tex]\frac{-2p + x_{1}^3 + x_{2}^3 + x_{3}^3 + 6q}{1+p-q}[/tex].

[tex]x_{1}^3+x_{2}^3+x_{3}^3 = (x_{1}+x_{2})^3 - 3 x_{1}^2 x_{2}- 3 x_{1} x_{2}^2 + x_{3}^3 = \left ( x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{3} \right )^3 -3 x_{1} x_{2} \left ( x_{1}+x_{2} \right ) + x_{3}^3[/tex]

Но [tex]x_{1}+x_{2}+x_{3}=0[/tex], откъдето

[tex]\Rightarrow -x_{3}^3-3 x_{1} x_{2} \left ( x_{1}+x_{2} \right ) + x_{3}^3 = -3 \frac{x_{1} x_{2} x_{3}}{x_{3}} \left ( x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{3} \right ) = - \frac{3q}{x_{3}} x_{3} = -3q[/tex].

[tex]\sum_{k=1}^{3} \frac{x_{k}^2}{1+x_{k}} = \frac{-2p+6q-3q}{1+p-q} = \frac{3q-2p}{1+p-q}[/tex]

[monika_at]

Аз се изхитрих леко, преди привеждане под ОЗ, но това е, защото съм мързелива жена
Преработих първата дроб по следния начин:
[tex]\frac{x_1^2-1+1}{ x_1+1} =x_1-1+\frac{1}{ x+1}[/tex]. Така и останалите две дроби.=>

[tex]x_1+x_2+x_3-3+\frac{1}{ x_1+1} +\frac{1}{ x_2+1} +\frac{1}{ x_3+1} =-3+\frac{3+p}{ 1+p-q} =\frac{3q-2p}{ 1+p-q}[/tex]

[Anubis]

Който си е хитър, си е хитър, . Много добре си се справила.

До автора: това не е ДИС, а висша (алгебра 2).

[luboslav.trenev]

моного ви благодаря на всички за отделеното време проблема е че ги уча по дис линеина и виша

[luboslav.trenev]

амм някои за 1 ва задача

[monika_at]

моного ви благодаря на всички за отделеното време проблема е че ги уча по дис линеина и виша

Не ми се сърди, но като начало си оправи правописа. Пунктуация и правопис. На всеки се случва да допуска грешки, докато пише, но твоите са фрапантни. По повод задачките- твоите са от раздел Линейна алгебра. Успех

[math10.com]

[tex]f(x)=x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+....+x^2+x+1)[/tex]
[tex]g(x)=x^3-2x^2+x=x(x-1)^2[/tex]
Нека [tex]q(x)=x^{n-1}+x^{n-2}+.....-(n-2)x ; r(x)=(n-1)x+1[/tex]
Нека [tex]p(x)=q(x)+r(x)=x^{n-1}+x^{n-2}+....+x^2+x+1=x^{n-1}+x^{n-2}+.....-(n-2)x+(n-1)x+1[/tex]
[tex]q(0)=0 ; q(1)=0 ; =>q(x)[/tex] се дели на [tex]x(x-1)[/tex]
следователно [tex]f(x):g(x)=\frac{q(x)}{x(x-1)}+r(x)[/tex]
търсеният остатък е [tex]r(x)=(n-1)x+1[/tex]