Как се изследва за непрекъснатост

[YouAreDeaD]

Някой може ли да ми обясни малко по-подробно как се решава тази задача :

Това са задачите

qwe.jpg (32.72 KiB) Прегледано 687 пъти

Благодаря предварително

[Добромир Глухаров]

[tex]f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+x^{2n}},\ x\in\mathbb{R}[/tex]

[tex]I.\ |x|<1\Rightarrow\lim_{n\to\infty}x^{2n}=0\Rightarrow f(x)=1[/tex]
[tex]II.\ |x|>1\Rightarrow\lim_{n\to\infty}x^{2n}=+\infty\Rightarrow f(x)=0[/tex]
[tex]III.\ |x|=1\Rightarrow\lim_{n\to\infty}x^{2n}=1\Rightarrow f(x)=\frac{1}{2}[/tex]

[tex]\Rightarrow f(x)[/tex] е непрекъсната за [tex]x\in(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)[/tex]


[tex]f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x}&,x\in(-\infty;0)\cup(0;1)\\x-1&,x\in[1;+\infty)\end{array}[/tex]

За [tex]x\in(-\infty;0)\cup(0;1)\cup(1;+\infty)\ f(x)[/tex] е непрекъсната - свойства на реципрочната и линейната функции.

[tex]f(x)[/tex]не е дефинирана за [tex]x=0\Rightarrow[/tex] в тази точка е излишно да я изследваме за непрекъснатост.

[tex]f(x)[/tex] е дефинирана за [tex]x=1[/tex] и [tex]f(1)=1-1=0[/tex], но [tex]f(1-0)=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{1}{1-\epsilon}=1;\ f(1+0)=\lim_{\epsilon\to 0}(1+\epsilon)-1=0\Rightarrow f(x)[/tex] е прекъсната за [tex]x=1[/tex].


Графиката на първата функция е нещо такова:

F1.png (7.19 KiB) Прегледано 641 пъти

А на втората изглежда приблизително така:

F2.png (10.59 KiB) Прегледано 641 пъти

Тук само дето за [tex]x=1[/tex] в истинската графика не трябва да има вертикална отсечка от [tex]y=1[/tex] до [tex]y=0[/tex], а прекъсване.

[YouAreDeaD]

Адски благодарности