Да се докаже с Лагранж

[Pepi1993]

Здравейте. Имам затруднения с едни доказателства... бихте ли ми казали как да докажа долните неравенства с теоремата на Лагранж:
ln(1+x)<x при x >0

и

[tex]|arctgx_{2 } - arctg x_{1 }|[/tex] ≤ [tex]|x_{2 } - x_{1 }[/tex]| при [tex]x_{1 }, x_{2 } \in R[/tex]

[Добромир Глухаров]

[tex]ln(1+x)<x;\ x>0[/tex]
[tex]f(x)=ln(x)[/tex]
От Теоремата на Лагранж:
[tex]\frac{f(1+x)-f(1)}{(1+x)-1}=f'(\xi);\ 1<\xi<1+x[/tex]
[tex]f'(\xi)=\frac{1}{\xi}\Rightarrow 0<f'(\xi)<1[/tex]
[tex]\Rightarrow 0<\frac{ln(1+x)-ln(1)}{x}<1\|.x>0[/tex]
[tex]\Rightarrow ln(1+x)-0<x[/tex]

[tex]|arctg x_2-arctg x_1| \le |x_2-x_1|[/tex]
[tex]f(x)=arctg x[/tex]
От Теоремата на Лагранж:
[tex]\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(\xi);\ \xi\in(x_1;x_2)[/tex]
[tex]f'(\xi)=\frac{1}{1+\xi^2}\le 1\Rightarrow \|\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\| \le 1[/tex]
[tex]\Rightarrow |f(x_2)-f(x_1)|\le|x_2-x_1|[/tex]

[Pepi1993]

Благодаря