Двоен интеграл

[Consigliere-]

[tex]\int_{G}^{ } \int_{}^{ }[/tex] [tex]arc tg\frac{y}{x } dxdy[/tex]


[tex]G:[/tex]
[tex]|1\le x^{2} + y^{2} \le 4[/tex]
[tex]| \frac {x}{\sqrt{3} } \le y \le x\sqrt{3}[/tex]

Ако може решение да ми дадете,останалите примери ще си ги направя сам,благодаря

[grav]

Полярни координати.

[Consigliere-]

И все пак не успях да го реша

[Anubis]

Имаш ли отговора?

[Consigliere-]

Мне,от изпит е

[Anubis]

[tex]\int \int \arctan \frac{y}{x} \operatorname{d}x \operatorname{d}y, \quad 1 \le x^2+y^2 \le 4, \quad \frac{x}{\sqrt{3}} \le y \le x\sqrt{3}[/tex]

Правим смяната [tex]x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi, \quad r \ge 0, \quad 0 \le \varphi \le 2 \pi[/tex].

[tex]1 \le x^2+y^2 \le 4 \Rightarrow 1 \le r^2 \le 4 \Rightarrow 1 \le r \le 2[/tex]

[tex]\frac{x}{\sqrt{3}} \le y \le x\sqrt{3} \Rightarrow \frac{r \cos \varphi}{\sqrt{3}} \le r \sin \varphi \le r \cos \varphi \sqrt{3} \Rightarrow \frac{\cos \varphi}{\sqrt{3}} \le \sin \varphi \le \cos \varphi \sqrt{3}[/tex]

Сега е хубаво да разгледаме онази полуокръжност, върху която [tex]\cos \varphi[/tex] е с постоянен знак. Аз ще

разгледам само единия случай, другия сам можеш да си го направиш.

[tex]1. \quad \varphi \in \left [ -\frac{\pi}{2}; \, \frac{\pi}{2} \right ] \Rightarrow \cos \varphi \ge 0, \quad 0 \le \frac{\cos \varphi}{\sqrt{3}} \le \sin \varphi \le \cos \varphi \sqrt{3} \Rightarrow \sin \varphi \ge 0 \Rightarrow 0 \le \varphi \le \frac{\pi}{2}[/tex]

[tex]\frac{\cos \varphi}{\sqrt{3}} \le \sin \varphi \le \cos \varphi \sqrt{3} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} \le \tan \varphi \le \sqrt{3} \Rightarrow \left [ \frac{\pi}{6}; \, \frac{\pi}{3} \right ][/tex]

Якобианът на трансформацията е [tex]|J|=r[/tex].

[tex]\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \left( \int_{1}^{2} r \arctan \left ( \tan \varphi \right ) \operatorname{d}r \right ) \operatorname{d} \varphi = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \left( \int_{1}^{2} r \varphi \operatorname{d}r \right ) \operatorname{d} \varphi = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \varphi \cdot \frac{3}{2} \operatorname{d} \varphi = \frac{3}{2} \cdot \frac{\varphi^2}{2} \| _{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{3}{4} \left ( \frac{\pi^2}{9} - \frac{\pi^2}{36} \right ) = \frac{\pi^2}{16}[/tex]

[tex]2. \quad \varphi \in \left [ \frac{\pi}{2}; \, \frac{3 \pi}{2} \right ] \Rightarrow \cos \varphi \le 0[/tex]

Когато в неравенствата делиш на него, не забравяй да смениш посоките им.

[Consigliere-]

Благодаря разбрах го,може ли само да ми кажеш кога използваме цилиндрична и кога сферична смяна ,от кое зависи?

[Anubis]

Когато в ограниченията или в подинтегралната функция ти участват само функции на [tex]x^2, \, y^2, \, z^2[/tex],

т. е. [tex]F(x^2; \, y^2; \, z^2) \ge 0, \quad F(x^2; \, y^2; \, z^2) \le 0, \quad F(x^2; \, y^2; \, z^2) = 0[/tex],

трябва да използваш сферични координати. Ако обаче в ограничението или във функцията ти

фигурира и нещо от първа степен, например [tex]z[/tex], трябва да използваш координати според случая

(цилиндрични или сферични, т. е. такива, които ще са ти по-удобни за сметките и за опростяване

на изразите).