Промяна под знака на диференциала

[-7-]

здравейте, ще се радвам някой да ми обясни как точно се получават следните 2 действия

[tex]\int_{}^{ } \frac{xe^{arctan(x)}dx}{ (1+x^{2})^{1/2}(1+x^{2})} = \int_{}^{ } \frac{xe^{arctan(x)}darctan(x)}{ (1+x^{2})^{1/2}}[/tex]

знам, че [tex]arctan(x)' = \frac{1}{ 1+x^{2}}[/tex] но как точно внасяме arctan(х) под диференцяла?

...и следователно:

[tex]\int_{}^{ } \frac{xe^{arctan(x)}darctan(x)}{ (1+x^{2})^{1/2}} = \int_{}^{ } \frac{x}{ (1+x^{2})^{1/2} }de^{arctan(x)}[/tex]

[tex](e^{arctan(x)})' = e^{arctan(x)}\frac{1}{ 1 + x^{2}}[/tex] , но как точно става

[Добромир Глухаров]

[tex]f'(x)dx=df(x)\ (*)[/tex]

Защо е така ли? Производната [tex]f'(x)[/tex] е равна на безкрайно малкото изменение на [tex]f(x)[/tex], разделено на безкрайно малкото изменение на аргумента: [tex]f'(x)=\frac{df(x)}{dx}[/tex]. Оттук, като умножим по [tex]dx[/tex], получаваме точно [tex](*)[/tex].

Нищо съществено не се променя, ако вместо x пишем някаква друга функция на [tex]x[/tex], например [tex]u(x)[/tex] - [tex]f'(u(x))u'(x)dx=f'(u(x))du(x)=df(u(x))[/tex]. Остава да поставим знака "интеграл" отляво на изразите и получаваме: [tex]\int f'(u(x))u'(x)dx=\int f'(u(x))du(x)=\int df(u(x))=f(u(x))+C[/tex].

[-7-]

благодаря ти, но може ли по подробно да ми обясниш за моя пример.

след като намерим първата производна какво правим точно? Сигурно е елементарно, но аз просто не мога да го схвана

след като вкараме arctan(x) под диференцяла, трябва да умножим пред "d" с първата производна на arctan(x)? Тогава защо отдолу изчезва [tex](1 + x^{2} )[/tex] , не трябва ли вместо това да стане [tex](1 + x^{2})^{2}[/tex]?
Ще съм ти много благодарен ако ми разпишеш моя пример малко по подробно, за да разбера как се процедира

[Добромир Глухаров]

Когато имаме производна на функция пред диференциала, я махаме оттам (пишем единица вместо нея), а след диференциала пишем функцията.

[tex]\frac{dx}{1+x^2}=(arctg(x))'_xdx=d arctg(x)[/tex]

[-7-]

ох, вярно, благодаря ти много