Множества

[addicted]

Нека A и B са множества от реални числа. Полагаме [tex]A+B = {x+y: x E A, y E B}[/tex]
Докажете, че [tex]sup(A.B)=sup(A).sup(B)[/tex].
Нека разгледаме само случая, в който [tex]sup(A)[/tex] и [tex]sup(B)[/tex] са положителни.
Тогава е , ясно, че в [tex]A[/tex] и в [tex]B[/tex] ще има положителни елементи, защото, ако допуснем противното, тогава 0-та ще е една по-малка горна граница, което противоречи на разглеждания случай.
Ясно е, че [tex]x.y<=sup(A.B)[/tex] , а от друга страна[tex]x.y<=supA.supB[/tex] .Тогава ==> че [tex]sup(A.B) <=sup(A).sup(B)[/tex] , тъй като [tex]sup(A.B)[/tex] е точна долна граница.Ако допуснем, че [tex]sup(A.B) <sup(A).sup(B)[/tex], тогава съществуват такива числа [tex]E_{1}[/tex] и [tex]E_{2}[/tex], такива, че
[tex]sup(A.B)=(sup(A)-E_{1})(sup(B)-E_{2})[/tex], тогава трябва [tex]x.y <= (sup(A)-E_{1})(sup(B)-E_{2})[/tex], което няма да е изпълнено за всички x и y ==> противоречие, че [tex]sup(A.B) <sup(A).sup(B) ==>sup(A.B) =sup(A).sup(B)[/tex].
Обаче, това, че [tex]sup(A.B)=(sup(A)-E_{1})(sup(B)-E_{2})[/tex] ми се струва някак си нестрого.По-скоро, че или му трябва някакво доказателство или ми трябва някакво друго по-строго доказателство.Ще се радвам, ако дадете мнение дали е вярно това доказателство и/или евентуално друго доказателство.
Надявам се, че съм пуснал задачата в правилния раздел.

[drago]

Ако под [tex]A\cdot B[/tex] разбираш [tex]\{x\cdot y \mid x\in A, y\in B\}[/tex] , то не е вярно че:
[tex]\sup A\cdot B = \sup A \cdot \sup B[/tex]
Контрапример: [tex]A=B=\{-x \mid x\in \mathbb{N} \}[/tex].

[addicted]

Ако под [tex]A\cdot B[/tex] разбираш [tex]\{x\cdot y \mid x\in A, y\in B\}[/tex] , то не е вярно че:
[tex]\sup A\cdot B = \sup A \cdot \sup B[/tex]
Контрапример: [tex]A=B=\{-x \mid x\in \mathbb{N} \}[/tex].

Първо: Извинявам се ,първият ми ред е преписан от горната задача
Второ: Ето скрийншот, но си прав.
Т.е. По-отделно горните граници на тези две множества, които ти даде са -1,докато, ако умножим -100.(-100) ще получим по-голямо число от горната граница на множеството A.B, която според задачата би трябвало да е sup(A).sup(B)=-1.(-1)=1? . За това говориш нали?
Също така, може ли да ми помогнете за това дали е вярна задачата и евентуално, ако има грешка да се даде начин за редактиране на решението(ако е възможно) и ще съм много благодарен, ако видя и друго решение( ако моето не е най-лесното)

[drago]

Обърни внимание, че в даденото условие на зад.2 (в скрииншот-а) А и В са множества от ПОЛОЖИТЕЛНИ реални числа. Това вече променя нещата и тогава твърдението е вярно. Това което съществено се използва е, че:
Ako [tex]a, a_1, b, b_1[/tex] са неотрицателни и [tex]a\ge a_1[/tex] и [tex]b \ge b_1[/tex] то [tex]a b \ge a_1 b_1[/tex] . Другото е от дефиницията на [tex]\sup[/tex]

[addicted]

Обърни внимание, че в даденото условие на зад.2 (в скрииншот-а) А и В са множества от ПОЛОЖИТЕЛНИ реални числа. Това вече променя нещата и тогава твърдението е вярно. Това което съществено се използва е, че:
Ako [tex]a, a_1, b, b_1[/tex] са неотрицателни и [tex]a\ge a_1[/tex] и [tex]b \ge b_1[/tex] то [tex]a b \ge a_1 b_1[/tex] . Другото е от дефиницията на [tex]\sup[/tex]

Това на последния ред съм го използвал, но може ли тогава доказателство, което бих могъл да използвам, ако например ми дадат задачата на изпит? Ако е само въпрос на дефиниции ще е на 2-3 реда.
Благодаря за отделеното внимание.