Интеграли за изпит

[Гост]

Здравейте! Мога ли да помоля за помощ относно два интеграла, които наистина ме измъчиха? След 2 дни съм на изпит, реших останалите интеграли и други видове задачи, дадени ни за подготовка, но с тези не мога да се справя, а ги мъча от 10 дни. Ето ги и тях: ∫x.arcsin xdx ; ∫x^-2.e^-1/x dx.
Първия съм го докарала до 1/2 . x^2 .arcsinx - 1/2∫x^2 . 1/√1-x^2 dx (дотук мисля, че е верен)
1/2.x^2 arcsinx- 1/2 arcsinx - 1/2 ∫1/√(1-x^2)dx
Дано да съм ги написала разбираемо, че нямам опит в това, досега винаги съм се справяла сама.
Благодаря предварително за помощта!

[Добромир Глухаров]

[tex]I=\int x.arcsinxdx=\int arxsinxd\frac{x^2}{2}=\frac{x^2}{2}arcsinx-\int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\\=\frac{x^2}{2}arcsinx-\frac{1}{2}\int\frac{xd\frac{x^2}{2}}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{x^2}{2}arcsinx+\frac{1}{4}\int x\frac{d(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{x^2}{2}arcsinx+\frac{1}{4}\int xd2\sqrt{1-x^2}=\\=\frac{x^2}{2}arcsinx+\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}-\frac{1}{2}\int \sqrt{1-x^2}dx[/tex]

[tex]\int \sqrt{1-x^2}dx\{x=sint\}=\int \sqrt{1-sin^2t}dsint=\int cost.costdt=\int\frac{1+cos2t}{2}dt=\\=\frac{t}{2}+\frac{1}{4}\int cos(2t)d(2t)=\frac{t}{2}+\frac{1}{4}sin(2t)+C=\frac{arcsinx}{2}+\frac{1}{4}.2sintcost+C=\frac{arcsinx}{2}+\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+C[/tex]

[tex]I=\frac{x^2}{2}arcsinx+\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}-\frac{1}{2}\[\frac{arcsinx}{2}+\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}\]+C=\(\frac{x^2}{2}-\frac{1}{4}\)arcsinx+\frac{1}{4}x\sqrt{1-x^2}+C[/tex]

[Добромир Глухаров]

[tex]\int \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2}dx=\int e^{-\frac{1}{x}}d\(-\frac{1}{x}\)=e^{-\frac{1}{x}}+C[/tex]

[Гост]

Много Ви благодаря!!!
След като писах тук, продължих да се опитвам да го реша, намерих решение и в чужд форум, но беше много кратко. Все пак успях да мръдна малко напред.
Благодаря, че не просто сте решили първата, а и сте си направили труда, да я напишете толкова подробно. Все пак целта е и да я разбера.
А за втората...опитах някакво сложно решение, направо съм изумена, колко е кратко!

[Добромир Глухаров]

Първият може да се реши по-кратко така:

[tex]\int x.arcsinxdx\{x=sint\}=\int sint.t.costdt=\frac{1}{2}\int t.sin(2t)dt=-\frac{1}{4}\int tdcos(2t)=\\=-\frac{1}{4}.t.cos(2t)+\frac{1}{4}\int cos(2t)dt=-\frac{1}{4}arcsinx(cos^2t-sin^2t)+\frac{1}{8}sin(2t)+C=\\=-\frac{1}{4}arcsinx((1-x^2)-x^2)+\frac{1}{8}.2.sint.cost+C=\frac{2x^2-1}{4}arcsinx+\frac{1}{4}x\sqrt{1-x^2}+C=\\=\(\frac{x^2}{2}-\frac{1}{4}\)arcsinx+\frac{x}{4}\sqrt{1-x^2}+C[/tex]

[Гост]

Май вторият начин ми допада повече! Сега ще се постарая да осмисля и двата и ако ми се падне на изпита, ще избера по-краткото решение, в случай, че го разбирам.