Двоен интеграл с модул

[Гост]

Здравейте, имам нужда от помощ за следната задача:

[tex]\int_{5/4\pi }^{9/4\pi } \int_{sin(x)}^{ cos(x)} |y| dy dx[/tex]

Може би ще помогне ако успея да разделя интеграла на две части, така че в първия интеграл да имам само положителни граници и |y|=y, а във втория интеграл отрицателни граници и |y|= - y.
Някакви идеи как да започна решението?

[Гост]

Просто решаваш 2 интеграла - с y и с -y

[kmitov]

Ако [tex]x \in [5\pi/4, 3\pi/2],[/tex] то [tex]sin x<0, cos x<0[/tex], тогава имаме

[tex]\int_{5\pi/4}^{3\pi/2} \ \ \ \ \int_{sin x}^{cos x} (-y) dy dx[/tex] [tex]= \int_{5\pi/4}^{3\pi/2} \left(\left. -\frac{y^2}{2}\right|_{sin x}^{cos x} \right)dx[/tex] [tex]= -\frac{1}{2}\int_{5\pi/4}^{3\pi/2} (cos^2 x - sin^2 x)dx[/tex]
[tex]= -\frac{1}{2}\int_{5\pi/4}^{3\pi/2} cos 2x dx[/tex] [tex]= -\frac{1}{4}\left(\left. sin 2x \right|_{5\pi/4}^{3\pi/2}\right)[/tex]
[tex]= -\frac{1}{4}\left(sin 3\pi - sin 5\pi/2\right)[/tex] [tex]= -\frac{1}{4}\left(sin 3\pi - sin \pi/2\right)=-\frac{1}{4}(0-1)=\frac{1}{4}[/tex]




Ако [tex]x \in [3\pi/2, 2\pi],[/tex] то [tex]sin x<0, cos x>0[/tex], тогава имаме

[tex]\int_{3\pi/2}^{2\pi} \left( \ \ \ \int_{sin x}^0 (-y)dy +\int_0^{cos x} y dy\right) dx[/tex]

Ако [tex]x \in [2\pi, 9\pi/4],[/tex] то [tex]sin x>0, cos x>0[/tex], тогава имаме

[tex]\int_{2\pi}^{9\pi/4} \int_{sin x}^{cos x} y dy dx[/tex]

По-нататък сметките не са трудни.