Предизвикателство

[lamptz]

Някой да помогне ....

[lamptz]

ето до къде стигам аз ..

[kmitov]

Ясно е, че тази рекурентна редица е ограничена отдолу, например от 0, т.е.[tex]x_n \ge 0[/tex] за всяко [tex]n.[/tex]
Ако пресметнем [tex]x_2=80,68674416[/tex] ще имаме, че [tex]x_1 \ge x_2[/tex]. Да допуснем, че за някое [tex]n[/tex]
[tex]x_n\le x_{n-1}[/tex]. Ще докажем, че [tex]x_{n+1}\le x_{n}[/tex]. Имаме
[tex]x_n^3-x_{n+1}^3=260(x_{n-1}-x_n)[/tex], или
[tex](x_n-x_{n+1})(x_n^2+x_nx_{n+1}+x_{n+1}^2)=260(x_{n-1}-x_n)[/tex].
От тук следва, че
[tex]x_n-x_{n+1} \ge 0[/tex].
Редицата е монотонно намаляваща и ограничена отдолу, следователно има граница.
Ако направим граничен преход в [tex]x_{n+1}=\sqrt[3]{260x_n+1919}[/tex] ще получим за границата уравнението
[tex]x^3=260x+1919[/tex]. То има корен [tex]x=19[/tex], което е и границата на редицата.