Int((x^2+3)/x^2-x)dx

[niq]

Здравейте,
боря се със следния интеграл : ∫(x^2+3)/(x^2-x)dx .
Опитах всевъзможни начини, отговорът ми излиза x+3ln(x)+4ln(x-1)+C .
Пуснах го в Maple за да си го проверя, и там, и в други сайтове ми излиза x-3ln(x)+4ln(x-1)+C .
Намерих един сайт, в който решението излиза стъпка по стъпка и се оказа,че моето решение дори не започва така : D
Там още в началото правят това: [tex]\frac{x^2+3}{x^2-x } = 1 + \frac{4}{x-1 } - \frac{3 }{x }[/tex]
Нататък мисля, че ще се оправя, но това тук нямам никаква идея как става.. Ще съм много благодарна, ако някой ми помогне.

[kmitov]

Здравейте,
боря се със следния интеграл : ∫(x^2+3)/(x^2-x)dx .
Опитах всевъзможни начини, отговорът ми излиза x+3ln(x)+4ln(x-1)+C .
Пуснах го в Maple за да си го проверя, и там, и в други сайтове ми излиза x-3ln(x)+4ln(x-1)+C .
Намерих един сайт, в който решението излиза стъпка по стъпка и се оказа,че моето решение дори не започва така : D
Там още в началото правят това: [tex]\frac{x^2+3}{x^2-x } = 1 + \frac{4}{x-1 } - \frac{3 }{x }[/tex]
Нататък мисля, че ще се оправя, но това тук нямам никаква идея как става.. Ще съм много благодарна, ако някой ми помогне.

[tex]\frac{x^2+3}{x^2-x } =\frac{x^2-x+x+3}{x^2-x}=\frac{x^2-x}{x^2-x}+\frac{x+3}{x^2-x}=1+\frac{x+3}{x(x-1)}[/tex]

[tex]\frac{x+3}{x(x-1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}=\frac{A(x-1)+Bx}{x(x-1)}=\frac{(A+B)x-A}{x(x-1)}[/tex]

Така [tex]A+B=1, -A=3[/tex]. Следователно [tex]A=-3, B=4[/tex]

Tака се получава представянето [tex]\frac{x^2+3}{x^2-x } = 1 + \frac{4}{x-1 } - \frac{3 }{x }[/tex].

[niq]

Много благодаря!

[niq]

Знам, че вече ставам нахална, но вече 2 часа тъпча един интеграл .. и няма изгледи да го реша сама ..

[tex]\int_{}^{ } \frac{\sqrt{x} }{\sqrt[4]{x^3}+1 }[/tex] dx

Тези с полагането не са ми много ясни. В случая полагам [tex]x = t^4[/tex] , но не мога да го реша докрай и предполагам, че греша още при полагането.. Може ли да ме насочите как се решава? Много благодаря предварително.

[kmitov]

Знам, че вече ставам нахална, но вече 2 часа тъпча един интеграл .. и няма изгледи да го реша сама ..

[tex]\int_{}^{ } \frac{\sqrt{x} }{\sqrt[4]{x^3}+1 }[/tex] dx

Тези с полагането не са ми много ясни. В случая полагам [tex]x = t^4[/tex] , но не мога да го реша докрай и предполагам, че греша още при полагането.. Може ли да ме насочите как се решава? Много благодаря предварително.

Полагането е правилно. [tex]dx=4t^3dt[/tex], и интегралът става така
[tex]\int \frac{\sqrt{t^4} }{\sqrt[4]{(t^4)^3}+1 } 4t^3dt=4\int \frac{t^5}{t^3+1}dt=4\int \frac{t^5+t^2-t^2}{t^3+1}dt=4\int \frac{t^2(t^3+1}{t^3+1}dt-4\int \frac{t^2}{t^3+1}dt[/tex]
[tex]=4\int t^2dt-4\int \frac{t^2}{(t+1)(t^2-t+1)}dt=4\frac{t^3}{3}-4\int \frac{t^2}{(t+1)(t^2-t+1)}dt[/tex]

За да се реши последния интеграл дробта се разлага така
[tex]\frac{t^2}{(t+1)(t^2-t+1)}=\frac{A}{t+1}+\frac{Bt+C}{t^2-t+1}=\frac{A(t^2-t+1)+(Bt+C)(t+1)}{(t+1)(t^2-t+1)}=
\frac{(A+B)t^2+(-A+C+B)t+A+C}{(t+1)(t^2-t+1)}[/tex]
От тук [tex]A+B=1, -A+B+C=0, A+C=0[/tex], което ни дава [tex]A=1/3, B=2/3, C=-1/3[/tex] и получаваме следната подинтегрална функция
[tex]\frac{1}{3}\frac{1}{t+1}+\frac{1}{3}\frac{2t-1}{t^2-t+1}[/tex]
Сега
[tex]\frac{1}{3}\int\frac{1}{t+1}dt+\frac{1}{3}\int\frac{2t-1}{t^2-t+1}dt=\frac{1}{3}\ln (t+1)+\frac{1}{3}\ln (t^2-t+1)[/tex]