Малко помощ за екстремуми

[Гост]

Здравейте, позабравил съм висшата математика, а един приятел ме помоли да му реша задачките. Може ли малко помощ ? Благодаря предварително!

става въпрос за 6-та и 8-ма задача

1481200_10201132893676425_1029140213_n.jpg (33.74 KiB) Прегледано 313 пъти

[math10.com]

То това си е елементарна математика за 12 клас , а не Висша .Да беше казал на приятеля ти да се регистрира във форума вместо да се натоварваш да му помагаш.Все едно......


6.a) Проверяваме за непрекъснатост и установяваме ,че функцията е непрекъсната.
[tex]y=-x^2+10x+4[/tex] - Това е парабола, върхът на която е максимум ,защото коефициентът пред [tex]x^2[/tex] е отрицателен.Намираме стойността на аргумента при върха по формулата [tex]x=\frac{-b}{2a}=\frac{-10}{-2}=5[/tex] и стойността на функцията [tex]y(5)=-25+50+4=29[/tex].Функцията е растяща и изпъкнала за [tex]x\in(-\infty;5)[/tex] , намаляваща и изпъкнала за [tex]x\in(5;\infty)[/tex] и има локален максимум в точка [tex]A(5;29)[/tex]
6.б)Проверяваме за непрекъснатост и установяваме ,че функцията е непрекъсната.
[tex]y=x^3-3x^2+2[/tex].Намираме последователно 1-вата и 2-рата производни на функцията:
[tex]y'=3x^2-6x[/tex]
[tex]y''=6x-6[/tex]
Намираме корените на [tex]y'=0[/tex] , а именно [tex]x_1=0 ; x_2=2[/tex].Това са стойностите на аргумента при които имаме локален екстремум.
Заместваме тези стойности във 2-рата производна:[tex]y''(0)=-6 <0[/tex] следователно [tex]x_1=0[/tex] е локален максимум.[tex]y''(2)=12 >0[/tex]ледователно [tex]x_2=2[/tex] е локален минимум.
Намираме корените на [tex]y''=0[/tex] , а именно [tex]x_3=1[/tex].Това са стойностите на аргумента при които имаме инфлексия.
Намираме граничните стойности при [tex]x=\pm \infty[/tex] и определяме интервалите на изпъкналост , вдлъбнатост , растене и намаляване.
[tex]lim_{x->-\infty} y(x)=-\infty[/tex]
[tex]lim_{x->\infty} y(x)=\infty[/tex]
[tex]x\in (-\infty ; 0)[/tex] - расте и е изпъкнала
[tex]x\in (0 ; 1)[/tex] - намалява и е изпъкнала
[tex]x\in (1 ; 2)[/tex] - намалява и е вдлъбната
[tex]x\in (2 ; \infty )[/tex] - расте и е вдлъбната
6.в)Проверяваме за непрекъснатост и установяваме ,че функцията е прекъсната , за [tex]x=1[/tex].
[tex]y=\frac{x-3}{1-x}[/tex] Намираме последователно 1-вата и 2-рата производни на функцията:
[tex]y'=\frac{-2}{(1-x)^2[/tex]
[tex]y''=\frac{4}{(x-1)^3[/tex]
Установяваме ,че 1-вата и 2-рата производни нямат корени след приравняване на 0.Следователно функцията няма локални екстремуми и инфлексни точки.
Намираме граничните стойности при [tex]x=\pm \infty[/tex], както и лявата и дясната граница за [tex]x=1[/tex] и определяме интервалите на изпъкналост , вдлъбнатост , растене и намаляване.
[tex]lim_{x->-\infty} y(x)=-1[/tex]
[tex]lim_{x->1,x<1} y(x)=\infty[/tex]
[tex]lim_{x->1,x>1} y(x)=-\infty[/tex]
[tex]lim_{x->\infty} y(x)=-1[/tex]
[tex]x\in (-\infty ; 1)[/tex] - расте и е вдлъбната
[tex]x\in (1 ; \infty )[/tex] - расте и е изпъкнала
Правите [tex]x=1 ; y=-1[/tex] са съответно хоризонтална и вертикална асимптота

[math10.com]

7.а)[tex]lim_{x->1}\frac{x^2-1}{x-1}=lim_{x->1}\frac{\cancel{(x-1)}(x+1)}{\cancel{(x-1)}}=lim_{x->1}x+1=2[/tex]

7.б)Прилагаш правилото на Лопитал , а именно ако:[tex]lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{0}{0}[/tex] или [tex]lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\infty }{\infty }[/tex] то [tex]lim\frac{f(x)}{g(x)}=lim\frac{f'(x)}{g'(x)}[/tex]

[tex]lim_{x->\pm\infty } \frac{2x^2-10}{8x^2-5}=lim_{x->\pm\infty } \frac{(2x^2-10)''}{(8x^2-5)"}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}[/tex]

8-се решава като 6.в) И я оставям за домашно

[inveidar]

7.б)Прилагаш правилото на Лопитал , а именно ако:[tex]lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{0}{0}[/tex] или [tex]lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\infty }{\infty }[/tex] то [tex]lim\frac{f(x)}{g(x)}=lim\frac{f'(x)}{g'(x)}[/tex]

[tex]lim_{x->\pm\infty } \frac{2x^2-10}{8x^2-5}=lim_{x->\pm\infty } \frac{(2x^2-10)''}{(8x^2-5)"}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}[/tex]

Лопитал за такава задача? Просто изнасяш [tex]x^2[/tex] пред скоби от числителя и знаменателя и получаваш
[tex]lim_{x->\pm\infty } \frac{2x^2-10}{8x^2-5}=lim_{x->\pm\infty } \frac{x^2(2-\frac{10}{x^2 }) }{x^2(8-\frac{10}{x^2 }) }=lim_{x->\pm\infty } \frac{2-\frac{10}{x^2 }}{8-\frac{10}{x^2 } }=\frac{2}{ 8}=\frac{1}{ 4}[/tex], защото [tex]\frac{1}{x^2 }\rightarrow 0[/tex] когато [tex]x \rightarrow\pm\infty[/tex]

[math10.com]

Че на Лопитал какво му е
Не бих казал че е по-сложно.Иначе начини много ........

[Гост1]

Може да не е по-сложно за прилагане. Но строгото доказателство на теоремата изисква повече усилия.