Да се намери радиуса на сходимост R на степенния ред

[ivelinkaaa]

да се намери радиуса на сходимост R на степенния ред: [tex]\sum_{k=1}^{\infty } \frac{2x^k}{3^k } =2x/3 +2x^2/3^2+2x^3/3^3+...[/tex]

[Flame]

да се намери радиуса на сходимост R на степенния ред: [tex]\sum_{k=1}^{\infty } \frac{2x^k}{3^k } =2x/3 +2x^2/3^2+2x^3/3^3+...[/tex]

Прилагаш просто критерия на Даламбер или Коши и изпълняваш условията им да са сходими. Е търси се тази област в която редът е сходящ.

По Даламбер

[tex]a_k=\frac{2 x^k}{3^k}[/tex]
[tex]a_{k+1}=\frac{2 x^{k+1}}{3^{k+1}}[/tex]

[tex]l=\lim_{k\to\infty}|\frac{a_{k+1}}{a_k}|[/tex]

[tex]l=\lim_{k\to\infty}\|{\frac{\frac{2 x^{k+1}}{3^{k+1}}}{\frac{2 x^k}{3^k}}}\|[/tex]

[tex]l=|\frac{x}{3}|[/tex] - припомняме си, че по Даламбер [tex]l<1[/tex] за да е сходящ редът или:

[tex]|\frac{x}{3}|<1 \Leftrightarrow[/tex] [tex]-3 < x < 3[/tex] От , което следва, че [tex]R = 3[/tex]

Внимание при стойност x=3 и x=-3, критерия не дава резултат задължително. Редът може там да е сходящ, може и да не е сходящ. Там се прави отделно изследване. Обикновено е като се замести x и се изследва за сходимост получения ред.