Решаване на интеграли , обяснение

[Гост]

https://docs.google.com/viewer?a=v&pid= ... MmIyNjk5OQ


Тук доц. ми е дал примерни контролни и се надявам някой да ми обясни как се решават интегралите понеже имам две 6-ци ,а 3-тата ми оценка ще е върху тези задачи,но не мога да ги разбера?

[kmitov]

Ми доц. не ти ли обяасни?

[Гост]

Напрао ми идва да ти изтрия отговора

[monika_at]

Плачевно....

[kmitov]

Този е лесен
[tex]\int_1^2\frac{2x^2+3}{x}dx=\int_1^2\left(\frac{2x^2}{x}+\frac{3}{x}\right)dx=2\int_1^2xdx+3\int_1^2\frac{1}{x}dx[/tex]
По таблицата на простите интеграли намираш [tex]\int xdx=\frac{x^2}{2}[/tex] и [tex]\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|[/tex] и записваш за твойта сметка
[tex]=2\left(\left. \frac{x^2}{2} \right|_1^2\right)+3\left(\left. \ln |x|\right|_1^2\right)=2\left( \frac{2^2}{2}-\frac{1^2}{2} \right)+3\left( \ln |2|-\ln |1|\right)=2\left( \frac{4-1}{2} \right)+3\left( \ln \frac{2}{1}\right)[/tex]
[tex]=2\frac{3}{2}+3\ln 2=3+3\ln 2.[/tex]


Този е по-труден
[tex]\int (2x+1)\sin 2x dx[/tex] Нека [tex]u=2x+1[/tex], [tex]dv=\sin 2x[/tex]. Тогава [tex]du=(2x+1)'dx=2dx[/tex] и
[tex]v=\int \sin 2x dx=\frac{1}{2}\int\sin 2x d(2x)=-\frac{1}{2}\cos 2x.[/tex]

Сега по формулата за интегриране по части [tex]\int udv=uv-\int vdu[/tex] се получава
[tex]\int (2x+1)\sin 2x dx=(2x+1)(-\frac{1}{2}\cos 2x) -\int(-\frac{1}{2}\cos 2x) 2dx[/tex]
[tex]=-\frac{2x+1}{2}\cos 2x +\int \cos 2xdx[/tex]
[tex]=-\frac{2x+1}{2}\cos 2x +\frac{1}{2}\int \cos 2xd2x[/tex]
[tex]=-\frac{2x+1}{2}\cos 2x +\frac{1}{2}\sin 2x + C[/tex]

[Malthael]

Почваме подред:Интегрирането е обратната функция на диференцирането и като цяло е по-трудната операция.
a)
1.[tex]\int_{}^{ }\frac{x^{2 }+2 }{x+2 }dx[/tex] подходите за решаване на интегралите са много, в случая ще преработим подинтегралната функция по следния начин [tex]\int_{}^{ }\frac{x^{2 }+2 }{x+2 }dx=\int_{}^{ }(x+\frac{6 }{x+2 }-2)dx[/tex] и прилагаме следното правило [tex]\int_{}^{ }f(x)+g(x)dx=\int_{}^{ }f(x)dx+\int_{}^{ }g(x)dx[/tex] така [tex]\int_{}^{ }(x+\frac{6 }{x+2 }-2)dx=\int_{}^{ }xdx+6\int_{}^{ }\frac{dx}{x+2}-2\int_{}^{ }dx=\frac{x^{2 }}{2 }+6\int_{}^{ }\frac{dx+2}{x+2}-2x=\frac{x^{2 }}{2 }+6ln|x+2|-2x+C[/tex]Под диференциал можем да прибавяме и изваждаме константи, защото след диференциране или при връщане в подинтегралната функция те ще са нули.
2.[tex]\int_{}^{ }(x-1)e^{2x }dx[/tex], при подобен тип задачи се използва много често интегриране по части, като се внася под диференциал експонентата.
[tex]\frac{1}{ 2} \int_{}^{ }(x-1)e^{2x }d2x=\frac{1}{ 2} \int_{}^{ }(x-1)de^{2x }=\frac{e^{2x }(x-1)}{ 2}-\frac{1 }{2 }\int_{}^{ }e^{2x }d(x-1)=\frac{e^{2x }(x-1)}{ 2}-\frac{1 }{4 }\int_{}^{ }e^{2x }d2x=\frac{e^{2x }(x-1)}{ 2}-\frac{e^{2x } }{4 }+C[/tex]

[Malthael]

3.[tex]\int_{0}^{2 }\frac{dx}{\sqrt{4x+5}}=\frac{1}{4 } \int_{0}^{2 }(4x+5)^{-\frac{1}{2 }}d4x+5[/tex] вече интеграла е в табличен вид нека [tex]t=4x+5, dt=d(4x+5), k=-\frac{1}{ 2} => \int_{}^{ }t^{k}dt=\frac{t^{k+1 }}{k+1 } +C[/tex] така решението на интеграла ще е [tex]\int_{0}^{2 }(4x+5)^{-\frac{1}{2 }}d(4x+5)=2\sqrt{4x+5}|_{0}^{2 }[/tex] Прилага се формулата на Нютон-Лайбниц [tex]\int_{a}^{b }f(x)dx=F(b)-F(a)[/tex] така [tex]2\sqrt{4x+5}|_{0}^{2 }=2\sqrt{4.2+5}|_{0}^{2 }-2\sqrt{4.0+5}|_{0}^{2 }\approx 2,739[/tex]
4.[tex]\int_{}^{ }\frac{xdx}{sin^{2 }(x) }[/tex] знаем , че [tex]csc(x)=\frac{1}{sin(x) }[/tex] заместваме в интеграла и интегрираме по части , като се внася csc(x) под диференциал, образа му се взема от таблични интеграли, така:
[tex]\int_{}^{ }\frac{xdx}{sin^{2 }(x) }=\int_{}^{ }x.csc^{2 }(x)dx=-\int_{}^{ }xdcotg(x)=-x.cotg(x)+\int_{}^{ }cotg(x)dx= <br> =-x.cotg(x)+\int_{}^{ }\frac{cos(x)}{sin(x) }dx=-x.cotg(x)+\int_{}^{ }\frac{dsin(x)}{sin(x) }=ln|sin(x)|-x.cotg(x)+C[/tex]

[Malthael]

5.[tex]\int_{}^{ }\frac{x^{2 }sin^{2 }(x)-3}{sin^{2 }(x) }dx[/tex]По аналогия от предните итеграли се решава и този интеграл.
[tex]\int_{}^{ }\frac{x^{2 }sin^{2 }(x)-3}{sin^{2 }(x) }dx=\int_{}^{ }\frac{x^{2 }sin^{2 }(x)}{sin^{2 }(x) }dx-3\int_{}^{ }\frac{dx}{sin^{2 }(x) }=\int_{}^{ } x^{2 }dx-3\int_{}^{ }csc^{2 }(x)dx=\frac{x^{3 }}{3 } +cotg(x)+C[/tex]
6.[tex]\int_{}^{ } xe^{x^{2 }}dx[/tex] Решението e чрез внасяне на x под диференциал за да изравним степенния показател с поддиференциалната функция и да интегрираме:
[tex]\int_{}^{ } xe^{x^{2 }}dx=\frac{1}{2 } \int_{}^{ } e^{x^{2 }}dx^{2 }=\frac{e^{x^{2 }}}{2 } +C[/tex]

[Malthael]

7.[tex]\int_{1}^{e }\frac{ln^{2 }(x)}{x }dx=\int_{1}^{e }ln^{2 }(x)dln(x)=\frac{ln^{3 }(x)}{3 }|_{1 }^{e }=ln^{3 }(e)-ln^{3 }(0) =\frac{1}{ 3}[/tex] Тук се внася [tex]\frac{1}{x}[/tex] под диференциал.


8.[tex]\int_{}^{ }e^{sin(x)}cos(x)dx=\int_{}^{ } e^{sin(x) }dsin(x)=e^{sin(x)}+C[/tex]

[Malthael]

Интегралите от втората част са доста лесни:
b)
2.[tex]\int_{2}^{3 }\frac{2x}{x^{2 }-3 }dx=\frac{2}{2 }\int_{2}^{3 }\frac{d(x^{2 }-3) }{x^{2 }-3 }=ln|3^{2 }-3|-ln|2^{2 }-3|\approx 1,791[/tex]

3.[tex]\int_{}^{ }x^{5 }ln(x)dx=\frac{x^{6 }ln(x)}{6 }-\frac{1}{6 } \int_{}^{ }x^{6 }dln(x)=\frac{x^{6 }ln(x)}{6 }-\frac{1}{6 } \int_{}^{ }\frac{x^{6 }}{x } dx=\frac{x^{6 }}{6 }[ln(x)-\frac{1}{6 }]+C[/tex]

4.[tex]\int_{}^{ }\frac{x+3}{x-2 }=\int_{}^{ }(x+\frac{7}{x-2 }+2)dx=\int_{}^{ }xdx+7\int_{}^{ }\frac{dx}{x-2 }+2\int_{}^{ }dx=\frac{x}{2 }+7ln(x-2)+2x+C[/tex]

7.[tex]\int_{0}^{\frac{\pi }{2 } }sin(x)cos(x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2 } }sin(x)dsin(x)=sin^{2}(x)|_{0}^{\frac{\pi }{2 }}=1[/tex]

8.[tex]\int_{}^{ }(x^{3}-4)x^{2}dx=\frac{1}{3 } \int_{}^{ }(x^{3}-4)d(x^{3}-4)=\frac{(x^{3}-4)^{2}}{6 }+C[/tex]

[Гост]

ру