Граници lim(x->0) [e^x - x^2]

[Гост]

Имам нужда от помощ при решаването на 2 задачи:
lim(x->0) [e^x - x^2]

lim(x->1-0) lnx.ln(1-x)

lim(x->0) [tex]\frac{xcotgx-1}{ x^2}[/tex] (На тази ми се получава -1/3 , а в отговорите пише 2. Аз ли съм в грешка или те?)

[Knowledge Greedy]

Не се безпокой! Грешката не е твоя. Аз също получих [tex](-\frac{1}{3})[/tex].
Представих котангенса чрез синус и косинус, преобразувах дробта и с Лопитал, и с основната граница [tex]\lim_{a \rightarrow b} \frac{sinx}{x }=1[/tex] без проблеми става отговора

[Knowledge Greedy]

Извинете, \copy-paste mistake\ [tex]\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sinx}{x }=1[/tex].
А за първата граница просто замести с [tex]x=0[/tex] - функцията е непрекъсната в [tex]x=0[/tex] и границата е нула.

За втората:[tex]\lim_{x \rightarrow 1}lxxln(1-x)= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ln(1-x)}{\frac{1}{ln{x} } }[/tex]
След едно прилагане на т. Лопитал получаваме [tex]\lim_{x \rightarrow 1}\frac{xln^{2}x}{x-1 }[/tex] и след второто прилагане на Лопитал, границата се вижда , че е нула.