Изследване на функция

[Гост]

Здравейте!Може ли някой да ми помогне с тази задача?Благодаря!

[Malthael]

[tex]f(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}-4 }[/tex]
Определяме дефиниционното множество: [tex]DM : x\in (-\infty,-2)\cup(-2,2)\cup(2,\infty)[/tex]
Определяме първата производна и приравняваме на 0: [tex]f'(x)=\frac{x^{2}(x^{2}-12)}{(x^{2}-4)^{2} }=0\Rightarrow x_{1/2}=\pm 2\sqrt{3}, x_{3}=0[/tex]
Така имаме 3 стационарни точки, в които функцията може да има екстремум.
Определяме втората производна и заместваме получените корени:[tex]f"(x)=\frac{8x(x^{2}+12)}{(x^{2}-4)^{3}}[/tex]
[tex]f"(2\sqrt{3}):=\frac{8.2\sqrt{3}((2\sqrt{3})^{2}+12)}{((2\sqrt{3})^{2}-4)^{3}}=\frac{3\sqrt{3} }{4 }=y_{min}[/tex]
[tex]f"(-2\sqrt{3}):=\frac{8.(-2\sqrt{3})((-2\sqrt{3})^{2}+12)}{((-2\sqrt{3})^{2}-4)^{3}}=-\frac{3\sqrt{3} }{4}=y_{max}[/tex]
[tex]f"(0):=\frac{8.0(0^{2}+12)}{(0^{2}-4)^{3}}=0[/tex]
От [tex]y(0)=0\Rightarrow (0,0)[/tex] e инфлексна точка за функцията.
Можем да определим видът на екстремума на функцията в зависимост от интервалите на растене и намаляване в зависимост от знака на първата производна.
Така [tex]y'>0 \Leftrightarrow x^{2}(x-2\sqrt{3})(x+2\sqrt{3})>0[/tex]
В точката [tex]x=2\sqrt{3}[/tex] имаме локален минимум, а в точката [tex]x=-2\sqrt{3}[/tex] локален максимум.

В интервала [tex](-\infty,-2\sqrt{3} )[/tex] е монотонно намялаваща и в интервала [tex](2\sqrt{3} ,\infty)[/tex] е монотонно растяща.

Асимптоти:
[tex]\lim_{x\to\ \pm \infty}\frac{x^{3}}{x^{2}-4 }=\pm \infty \Rightarrow f(x)[/tex] няма хоризонтални асимптоти
[tex]\lim_{x\to\ -2^{-}}\frac{x^{3}}{x^{2}-4 }=\lim_{\epsilon\to\0}\frac{(-\epsilon-2)^{3}}{(-\epsilon-2)^{2}-4 }=\infty[/tex]
[tex]\lim_{x\to\ -2^{+}}\frac{x^{3}}{x^{2}-4 }=\lim_{\epsilon\to\0}\frac{(\epsilon-2)^{3}}{(\epsilon-2)^{2}-4 }=-\infty[/tex]
тъй като функцията е симетрична в точкитене на прексъсване [tex]x=\pm 2[/tex] имаме вертикални асимптоти

Изпъканлост: Вземат се прозиволни точки от 3 те интервала
[tex]f"(4):=\frac{8.4(4^{2}+12)}{(4^{2}-4)^{3}}=\frac{14}{27 }>0 \Rightarrow[/tex] изпъкнала в интервала [tex](-\infty,-2\sqrt{3} )[/tex]
[tex]f"(-4):=\frac{8.(-4)((-4)^{2}+12)}{((-4)^{2}-4)^{3}}=-\frac{14}{27 } <0 \Rightarrow[/tex] вдлъбната в интервала [tex](2\sqrt{3} ,\infty)[/tex]
[tex]f"(-1):=\frac{8.(-1)((-1)^{2}+12)}{((-1)^{2}-4)^{3}}=-\frac{104}{ 27} <0 \Rightarrow[/tex] вдлъбната в интервла [tex](-2,0)[/tex] , тъй като при инфлексия [tex]y"[/tex] сменя знака си [tex]\Rightarrow f(x)[/tex] е изпъкнала в интервала [tex](0,2)[/tex]

[cska31]

готина задача и добре обяснена . Мерси!