Интерполационна формула на Лагранж - единственост

[skidrow]

Здравейте!
Имам следната задача:
Дадена е функцията [tex]f(x) = x ^ {2}[/tex]. Да се приближи с полином от 4-та степен и да се докаже единственост на полинома.

Съставянето на полинома го правя чрез използване основната интерполационна формула на Лагранж:
[tex]p(x) = \sum_{k=0}^{n}f({x_k})l{_k}(x)[/tex], където [tex]l{_k}(x)[/tex] е функцията:
[tex]l{_k}(x) = \prod_{j=0, j!=k}\frac{(x-x{_j})}{(x{_k} - x{_j)[/tex]

Как се доказва, че полученият полином е единствен?

[0xdeadbeef]

Интерполационната задача се състои в това да се намери полином [tex]P[/tex], от степен по-малка или равна на [tex]n[/tex], който удовлетворява условието:

[tex](\ast) \quad \quad P(x_k) = y_k[/tex], където [tex](x_k,y_k)[/tex] са дадени точки в равнината [tex]k = 0,1,\dots,n[/tex]

Сега да допуснем, че има два полинома [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex] от степен по-малка или равна на [tex]n[/tex], които удовлетворяват [tex](\ast)[/tex]. Тогава тяхната разлика

[tex]T(x) = P(x) - Q(x)[/tex] също е полином от степен по-малка или равна на [tex]n[/tex]. И още

[tex]T(x_k) = P(x_k) - Q(x_k) = y_k - y_k = 0[/tex], където [tex]k=0,1,\dots,n[/tex].

Полинома [tex]T(x)[/tex] е от степен [tex]\le n[/tex], обаче се нулира в [tex]n+1[/tex] точки, което е противоречиво с теоремата на алгебрата. С това доказахме единственоста.