Интрегуема по Риман и стойност на интеграла

[Гост1]

Функцията [tex]f[/tex] е дефинирана по следния начин -
[tex]f(x) = \begin{cases} 0 &\mbox{if } x=0 \\
1 &\mbox{if } \sin\left(\frac{1}{x}\right)>0 \\
-1 &\mbox{if } \sin\left(\frac{1}{x}\right)>0 \\
0 &\mbox{if } \sin\left(\frac{1}{x}\right)=0 \end{cases}[/tex]
Докажете, че функцията е интегруема по Риман в интервала [-1,1] и пресметнете [tex]\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d}x[/tex].

[Knowledge Greedy]

Третата формула от условието навярно е при [tex]sin{\frac{1}{x} }<0[/tex] ?

[Гост1]

Да, извинявайте!

[drago]

Явно всеки може да сметне интеграла, но за да няма отговор досега, явно затруднението пада на това, че функцията е интегруема по Риман. Така ли е?

[Гост]

Не съм сигурен, но може би, доказателството за интегруемост, ще стане, като се използва критерия на Коши за интегруемост.

Корените на уравнението [tex]\sin{\frac{1}{x}} = 0[/tex], разбиват интервала [tex][-1,1][/tex]. Лесно можем да изберем още едно разбиване на интервала.

[Гост]

В смисъл??

[Гост]

http://en.wikibooks.org/wiki/Real_Analy ... ntegration
Виж раздела Integrability

[Гост]

Да, де,... и после?

[drago]

Относно интегруемостта (по Риман): може да стане по много начини, вкл. и по т.н. критерий на Коши. Всъщност идеяъа е, че може да изолираме нулата, с някаква малка околност, така че каквото и да става там, това да влияе малко на римановата сума. Останалото е функция с краен брой точки на прекъсване.
@ Гост: Може би най-чисто е да погледнеш в следващия раздел:"Squeeze Theorem"

[Гост]

Функцията е грубо казано sign sin 1/x и можеството от точките и на прекьсване в [-1,1] има мярка 0, тьй като всички такива точки се сгьстяват около нулата и значи могат да се покрият с интервали сьс сума от дьлжините по малка от епсилон. Тогава функциятя е интегруема, според добре известна теорема.