Някой може ли да помогне със следните 2 задачи по анализ.

[Гост]

1.jpg (18.67 KiB) Прегледано 511 пъти

2.jpg (22.53 KiB) Прегледано 511 пъти

[Гост]

9. За да е една ф-ия строго растяща в даден интервал, за всеки х1,х2 от интервала трябва да е изпълено,
че х1<х2 [tex]\Leftrightarrow[/tex] F(x1)<F(x2). Сега нека си спомним какво е това производна:
производна е границата
F(x1)-F(X2)
__________
x1-x2
Това е един вид скоростта на функцията - ако е положителна, функцията расте, ако не е - намаля, ако е 0 - нито расте, нито намалява. Т.е. в случая целим да докажем, че тая граница е винаги положителна, ако функцията расте и обратно.

В правата посока:

Нека х1<х2 и х1\rightarrow х2. Тогава ако F(x) е растяща, то знаменателя е отрицателен, но числителя също е отрицателен \Rightarrow границата е положителна за всяко х от нашия интервал, т.е. положителна скорост на ф-ията, т.е. ако функцията е растяща, производната е положителна.

Сега обратно:

Нека производната е положителна, тоест числителя и знаменателя на нашата граница са с еднакъв знак. Следователно:
1. x1-x2<0 и F(x1)-F(x2)<0
или
2.x1-x2>0 и F(x1)-F(x2)>0
което е равнозначно с това, ако х1 е по-голямо(по-малко), то функционалната му стойност също да е по-голяма(по-малко) от тази на х2.

П.С. ФМИ, софт. инж? :Д

[Гост]

именно, благодаря за решението.

[Гост]

а по 6-та задча някакви идеи ?

[Гост]

6. Това тук е от графика на функция. Имаш граница L в плюс безкрайност, тоест - хоризонтална асимптота. Функцията в безкрайност не надминава тази стойност. Също така имаш, че в 0 графиката на функцията е над асимптотата. Но знаем, че функцията клони към асимптотата, следователно, погледнато от глобална гледна точка, от F(0) графиката ще се движи към L. Но F(0)>L, което значи, че функцията намалява.
Ако F(x) няма екстремуми, а директно клони към L, то F(0) се явява като най-голяма стойност.
Ако F(x) има екстремуми, то най-голямата стойност се явява най-голямата от стойностите в точките на екстремумите и F(0).
И в двата случая има максимум.

След като сме доказали това, вече е по-лесно да интуитивно да докажем(сори, мързи ме :Д), че F(x) е ограничена. Твърдим, че можем да намерим краен интервал, който да съдържа всички функционални стойности.

Доказахме, че имаме максимум, т.е. стойността в максимума ще ни е тавана на интервала. Ако имаме миниум, той ще ни е дъното, ако нямам - L ще ни е дъното.

Сега допускаме, че имаме функционална стойност извън тези интервали.

Ако една такава стойност е над максимума, то тя се явява максимум, а предишната не е. Аналогично и за минимум. Ако пък нямаме минимум, а за дъно ползваме L, то ако има стойност под L, то тя е някакъв минимум, което е противоречие.

надявам се, че не съм те объркал, сега, като го чета, ми се вижда малко неразбираемо.

значи сме колеги :Д

[Гост]

Благодаря ти отново, би ли дал някакви координати.

[Гост]

Константин Симеонов, намери ме от групата

[0xdeadbeef]

Малко е през пръсти доказателството на 9-та. Може и да мине - не знам.
Ще ви предложа по-подробно доказателство.

Нека [tex]x_1,x_2 \in \mathbb{R}[/tex] и [tex]x_1 < x_2[/tex]. Според теоремата за средните стойностни, съществува точка [tex]\xi[/tex], такава, че [tex]x_1 < \xi < x_2[/tex] и

[tex](\ast) \qquad \qquad f'(\xi) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}[/tex]

Допускаме, че [tex]f[/tex] е растяща в/у реалната права, тогава, ако [tex]x_2 > x_1 \Rightarrow f(x_2) > f(x_1)[/tex], а оттук и [tex]f'(\xi) > 0[/tex].
Понеже, [tex]f[/tex] е диференцируема във всяка точка от дефиницинното си множество, то [tex]f'(x) > 0[/tex].

В другата посока е ясно.

[drago]

Малко е през пръсти доказателството на 9-та. Може и да мине - не знам...

Не малко, много е през пръсти. Ако мине, значи че нивото във ФМИ много трябва да е паднало.
А със 6-та е още по през пръсти. Хубавото в двете "доказателства" е, че човека схваща интуитивно нещата, някак си идеята е правилна, но написаното не е логически наред. Така са ги правили нещата по времето на Нютон и Лайбниц. Горе-долу с подобни разсъждения са "доказвали", че всяка непрекъсната функция има производна в повечето си точки. След натрупаните примери на разни екзотични функции(като примера на Вайерщрас) вече е станало ясно, че строгостта не е досаден каприз.
И поста на 0xdeadbeef не е написан добре. Да, теоремата за средните стойности е разковничето, но не обръщай нещата. Искаме да докажем посоката: Oт [tex]f(x)\geq 0[/tex]за всяко x , следва че [tex]f[/tex] e растяща. Вземаме две точки x_1 < x_2, прилагаме споменатата теорема и сме готови.

В тази връзка, понеже в началото се спомена за строго растяща ф-я, един въпрос:
Съществува ли [tex]f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}[/tex] , която е навсякъде диференцируема, [tex]f'(x)=0[/tex] за всяко рационално [tex]x[/tex] и [tex]f[/tex] e СТРОГО растяща?
Отговорът е "да" , но построяването на пример е малко по трудно от горните 2 задачи

[Гост]

drago, възможно ли е да дадеш някакви координати , за да те попитам нещо.

[0xdeadbeef]

Да, умишлено съм оставил доказателството в другата посока. С разсъжденията на единия Гост и теоремата, която споменах, би трябвало да могат да се оправят.

[drago]

drago, възможно ли е да дадеш някакви координати , за да те попитам нещо.

Във форума има опция "лично съобщение" (ЛС). Само трябва да се регистрираш.

@0xdeadbeef: Нещо не се разбираме. Затова по подробно... Трябва да се докажат 2 неща:
1) За всяка растяща, навсякъде диференцируема [tex]f[/tex] е в сила [tex]f'(x) \geq 0[/tex] за всяко x.
2) Ako [tex]f'(x) \geq 0[/tex] за всяко [tex]x[/tex] , то [tex]f[/tex] e растяща.
И така теоремата за крайните нараствания се използва за т. 2) , а не за 1). Ти искаш да докажеш 1) с нея. Това в общия случай няма как да стане, защото от [tex]\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = f'(\xi)[/tex] , където [tex]\xi[/tex] е някаква междинна точка, ще получиш [tex]f'(\xi) \geq 0[/tex], но няма как да получиш [tex]\forall x f'(x) \geq 0[/tex]. Да, можеш да вземеш [tex]x_1 < x < x_2[/tex] и да свиваш [tex]x_1, x_2[/tex] около [tex]x[/tex] , тогава [tex]\xi \to x[/tex], но трябва доп. да поискаш [tex]f'[/tex] да е непрекъсната, а то е излишно.
И така 1) е по-лесната част и се прави с дефиницията за производна и тъй като диференчното частно е неотрицателно, то остава такова и след граничния преход.
2) се прави със споменатата теорема.

[0xdeadbeef]

Да, сега разбрах, какво си имал предвид под обърнато. Благодаря за поправката и подробното обяснение