Задачи от изпит

[blair7]

Някой ще ми помогне ли за тези задачи ??

[kmitov]

Представяме функцията [tex]f(t)=\frac{t^5-t^2+8}{2t^6+t^2+4}=\frac{1}{t}\frac{1-t^{-3}+8t^{-5}}{2+t^{-4}+4t^{-6}}[/tex]. Нека [tex]\varepsilon>0[/tex]. Има А>1 такова, че за всяко t>A, [tex]\frac{1}{2}+\varepsilon<\frac{1-t^{-3}+8t^{-5}}{2+t^{-4}+4t^{-6}}<\frac{1}{2}+\varepsilon[/tex]

Сега можем да представим интеграла по следния начин за x>A,
[tex]\int_0^{x^2}\frac{1}{t}\frac{1-t^{-3}+8t^{-5}}{2+t^{-4}+4t^{-6}}dt[/tex]

[tex]=\int_0^{A^2}\frac{1}{t}\frac{1-t^{-3}+8t^{-5}}{2+t^{-4}+4t^{-6}}dt+\int_{A^2}^{x^2}\frac{1}{t}\frac{1-t^{-3}+8t^{-5}}{2+t^{-4}+4t^{-6}}dt[/tex]

Понеже А е фиксирано
[tex]\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\ln x}\int_0^{A^2}\frac{1}{t}\frac{1-t^{-3}+8t^{-5}}{2+t^{-4}+4t^{-6}}dt=0[/tex]

За втория интеграл имаме

[tex]\lim_{x \to \infty}\frac{1}{\ln x}\int_{A^2}^{x^2}\frac{1}{t}\frac{1-t^{-3}+8t^{-5}}{2+t^{-4}+4t^{-6}}dt \le \lim_{x \to \infty}\frac{1}{\ln x}\int_{A^2}^{x^2}\frac{1}{t}(\frac{1}{2}+\varepsilon)dt \le \lim_{x \to \infty}(\frac{1}{2}+\varepsilon)\frac{1}{\ln x}\int_{A^2}^{x^2}\frac{1}{t}dt[/tex]
[tex]\le \lim_{x \to \infty}(\frac{1}{2}+\varepsilon)\frac{1}{\ln x}(\ln x^2-\ln A^2)=2(\frac{1}{2}+\varepsilon)[/tex]

По същия начин се намира, че
[tex]\lim_{x \to \infty}\frac{1}{\ln x}\int_{A^2}^{x^2}\frac{1}{t}\frac{1-t^{-3}+8t^{-5}}{2+t^{-4}+4t^{-6}}dt \ge 2(\frac{1}{2}-\varepsilon)[/tex]

Понеже [tex]\varepsilon>0[/tex] е произволно, то границата е 1.

[kmitov]

За втората задача [tex]\left(\frac{n+2}{n}\right)^n \to e^2, \ \ \ n \to \infty[/tex], докато например при [tex]n-1=8k+2[/tex] ще имаме [tex]\left(\sin(2k+\frac{\pi}{2})\right)^{8k+3} =1[/tex] за всяко k и произведението ще има гранца [tex]e^2[/tex]

[Гост]

Може ли малко разяснение на тази част:

Нека [tex]\varepsilon>0[/tex]. Има А>1 такова, че за всяко t>A, [tex]\frac{1}{2}+\varepsilon<\frac{1-t^{-3}+8t^{-5}}{2+t^{-4}+4t^{-6}}<\frac{1}{2}+\varepsilon[/tex]

[kmitov]

Може ли малко разяснение на тази част:

Нека [tex]\varepsilon>0[/tex]. Има А>1 такова, че за всяко t>A, [tex]\frac{1}{2}+\varepsilon<\frac{1-t^{-3}+8t^{-5}}{2+t^{-4}+4t^{-6}}<\frac{1}{2}+\varepsilon[/tex]

Трябва разяснение, защото при копирането съм сгрешил. Неравенствата са

[tex]\frac{1}{2}-\varepsilon<\frac{1-t^{-3}+8t^{-5}}{2+t^{-4}+4t^{-6}}<\frac{1}{2}+\varepsilon[/tex]

Защо е вярно това: [tex]\lim_{t \to \infty} \frac{1-t^{-3}+8t^{-5}}{2+t^{-4}+4t^{-6}}=\frac{1}{2},[/tex] защото всички дроби от вида [tex]1/t^n[/tex] при n>0 клонят към 0. Неравенствата са от дефиницията на Коши за граница на функция.