Сумиране на степенни редове

[Apocalyp5e]

Да се намери сумата:[tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n(n+1)}.[/tex]

Намирам, че интервалът на сходимост е [-1;1], но не знам какво да правя по-нататък. Може ли да ми дадете някакви насоки?

[indy]

Разгледай [tex]h(x)=xS(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}.[/tex]
Намери h''(x) и интегрирай 2 пъти.
Ако не съм ясен - пиши.

[Apocalyp5e]

Благодаря, май я реших вече. Добавям и изваждам n и сумата се разбива на 2 лесни сумички.
[tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1 - n)x^n}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n+1} =\int \left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}\right)'dx - \frac1x \int \left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)'dx=[/tex]

[tex]=\int\frac{1}{1-x}dx - \frac1x \int\frac{1}{1-x}dx=-ln(1-x)+\frac1x ln(1-x)[/tex]

Вярно ли е?

[indy]

Taка както си го направил при х=1 получаваш S=0. Как мислиш, вярно ли е?

[Apocalyp5e]

При х=1 имаме ln 0

Иначе ето какво получавам по Вашия начин (освен ако не съм допуснала грешки при пресмятанията):

[tex]h(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}[/tex]

[tex]h''(x)=\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}\right)'=(\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}=\frac{1}{1-x}[/tex]

[tex]h'(x)=\int\frac{1}{1-x}dx=-ln(1-x)+C_1[/tex]

[tex]h'(0)=-ln(1-0)+C_1=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0^{n}}{n}\rightarrow C_1=0[/tex]

[tex]h(x)=-\int ln(1-x)dx=-xln(1-x)+\int x dln(1-x)=-xln(1-x) + \int \frac{-x}{1-x}dx =[/tex]
[tex]= -xln(1-x) + \int \frac{1-x-1}{1-x}dx=-xln(1-x) +x+ln(1-x)+C_2[/tex]
[tex]h(0)=C_2 = 0\rightarrow C_2 = 0, h(x)=-xln(1-x) +x+ln(1-x)[/tex]
[tex]S(x)=\frac1xh(x)=-ln(1-x)+\frac1xln(1-x)+1[/tex]