Двоен интеграл

[SilentHunter]

здравейте. В момента уча задачите с двоен интеграл. Реших доста задачи, от сборника, като ми останаха тези 2, които нещо не мога да реша. Бихте ли показали решението?

[tex]\int_{}^{ }d\int_{}^{ }[/tex] (x+2y+4xy)dxdy D:y=2x,y=x^2

[tex]\int_{}^{ }d\int_{}^{ }[/tex] (x^2)/(y^2) D: x^2+y^2=1,x>=0,y>=0

[kmitov]

[tex]\int\int_{D}(x+2y+4xy)dxdy[/tex] където [tex]D[/tex] е определена кривите [tex]y=2x, y=x^2[/tex].

Абсцисите на пресечните точки на кривите определяме от уравнението [tex]2x=x^2[/tex]. Те са [tex]x=0, x=2[/tex].
Така [tex]0 \le x \le 2[/tex] и [tex]x^2 \le y \le 2x[/tex] (Виж картинката.)

zad.png (9.93 KiB) Прегледано 923 пъти

Повторният интеграл е [tex]\int_0^2\left(\int_{x^2}^{2x}(x+2y+4xy)dy\right)dx[/tex]

[tex]\int_{x^2}^{2x}(x+2y+4xy)dy=\int_{x^2}^{2x}xdy +\int_{x^2}^{2x}2ydy + \int_{x^2}^{2x}4xydy[/tex]
[tex]=2x\left(\left.y\right|_{x^2}^{2x}\right) +\left.y^2\right|_{x^2}^{2x} + 4x\left(\left.\frac{y^2}{2}\right|_{x^2}^{2x}\right)[/tex]

Ако си решил верно много задачи по-нататък ще се оправиш и сам.


За втората се минава в полярни координати[tex]x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta.[/tex] Границите са [tex]0\le \rho \le 1, \ \ \ 0 \le \theta \le \pi/2[/tex]

Итегралът става [tex]{\int\int}_{[0,1] \times [0,\pi/2]}\mathrm{cotg}^2 \theta \rho d\rho d\theta[/tex]

[SilentHunter]

Благодаря