Тригонометрчен интеграл

[ostell]

Може ли някой да ми помогне с този интегралчнемога да се преборя нещо с него
∫sin(x)/(sin^3(x)+4cos^3(x))dx - като интеграла е определен от 0 до пи/3.Благодаря предварително ^^

[monika_at]

Да разгледаме само подинтегралната функция и леко да я "омагьосаме" (преработим):

[tex]f(x)=\frac{sinx.1}{sin^3x+4cos^3x } =\frac{sinx(sin^2x+cos^2x)}{sin^3x+4cos^3x } =\frac{sin^3x+sinx.cos^2x}{sin^3x+4cos^3x }[/tex]

Числителят и знаменателят са хомогенни многочлени от трета степен спрямо синус и косинус и тогава ще ги разделим почленно на [tex]cos^3x[/tex]=>

[tex]f(x)=\frac{tg^3x+tgx}{tg^3+4 }[/tex] Да положим[tex]tgx=t=>x=arctgt=>dx=\frac{1}{1+t^2 } dt[/tex]=>

[tex]\int_{}^{ } \frac{t^3+t}{ t^3+4} .\frac{1}{1+t^2 } dt=\int_{}^{ } \frac{t}{ 4+t^3} dt[/tex]

Това е интеграл от дробно-рационална функция, която мисля, че е ясен и не забравяй смяна на горната и долна граници.

[Гост]

Чак пък да е толкова ясен? Не вярвам.