Граница-проста задачка

[Гост]

Здравейте..търся решението на ето тази задачка,знам че е проста но си нямам да идея какво трябва да се изнесе или да се направи ето я и нея...

lim x^3+8
------- при лим клонящо към -2 задачата е x на 3-та +8 върху х+2 и лим клони към -2 в сборника пише че отговора е 4
x+2

[kmitov]

[tex]\lim_{x \to -2}\frac{x^3+8}{x+2}=\left[ \frac{(-2)^3+8}{-2+2}=\frac{0}{0} \right]=\lim_{x \to -2}\frac{(x+2)(x^2-2x+4)}{x+2}=\lim_{x \to -2}(x^2-2x+4)=(-2)^2-2.(-2)+4=12[/tex]

Може и аз да съм грешка, ама може и в сборника да е грешка.

[Добромир Глухаров]

Не лимеса, а х клони към -2. Търси се границата (лимес) на функцията [tex]f(x)=\frac{x^3+8}{x+2}[/tex] при [tex]x\to-2[/tex].

При такива задачи е добре най-напред да си заместим [tex]x[/tex] с [tex]-2[/tex], за да видим какъв израз се получава: в нашия случай получаваме [tex]\frac{(-2)^3+8}{-2+2}=\frac{0}{0}[/tex] - в числителя и знаменателя получаваме [tex]0[/tex]. Значи трябва да отделим такива множители както в числител, така и в знаменател, които да кланят към [tex]0[/tex] при [tex]x\to-2[/tex].

В числител имаме: [tex]x^3+8=x^3+2^3[/tex], но имаме формула: [tex]a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)[/tex]. Или в нашия случай: [tex]x^3+2^3=(x+2)(x^2-x.2+2^2)=(x+2)(x^2-2x+4)[/tex].

В знаменател пък имаме направо един от множителите на числителя, и то този, който клони към нула, следователно няма нужда да преобразуваме знаменателя.

[tex]\lim_{x\to -2}\frac{x^3+8}{x+2}=\lim_{x\to -2}\frac{(x+2)(x^2-2x+4)}{x+2}=\lim_{x\to -2}\frac{\cancel{(x+2)}(x^2-2x+4)}{\cancel{x+2}}=[/tex]

[tex]=\lim_{x\to -2}(x^2-2x+4)=(-2)^2-2.(-2)+4=4+4+4=12[/tex]