Граници-3 задачки

[a4y111]

Здравейте приятели.
Много се затруднявам с 3 примерчета за граници моля помогнете ако можете!

1: lim sin^2.x/1-cosx при х клонящо към 0

2:lim cos^2.x/1-sinx x клони към П/2

3!-тази е много важна задача много бих искал помощ за нея
lim x-1/cotgPi/2.x тук х клони към 1

моля ако има хора желаещи да помогнат да пишат а

[Knowledge Greedy]

1.
[tex]\lim_{x \to 0}{\frac{sin^2x }{ 1-cosx} }=[/tex]
[tex]=\lim_{x \to 0}\frac{sin^2x }{2sin^2\frac{x}{2 } }=[/tex]
[tex]=\lim_{x \to 0}\frac{(2sin {\frac{x}{2 }}cos\frac{x}{2 })^2 }{2sin^2\frac{x}{2 } }=[/tex]
[tex]=\lim_{x \to 0}\frac{4 \cancel {sin^2 {\frac{x}{2 }}}cos^2\frac{x}{2 } }{\cancel {2sin^2\frac{x}{2 }}} =[/tex][tex]\lim_{x \to 0}2cos^2\frac{x}{2 }=2cos^20=2[/tex]

2.
[tex]\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{cos^2x}{1-sinx }=[/tex]
[tex]=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{1-sin ^2x}{1-sinx }=[/tex]
[tex]\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}(1+sinx)=1+sin{\frac{\pi }{2 }}=2[/tex]

3. Ако условието е така
[tex]\lim_{x \to 1}\left ( x-\frac{1}{cotg\frac{\pi }{2 }x } \right )[/tex], границата е [tex]\infty[/tex]. Като при [tex]x<1[/tex] границата е [tex]-\infty[/tex], а при [tex]x \to 1[/tex] и [tex]x>1[/tex], границата е [tex]+\infty[/tex].
--------------------
Същият е и отговорът, ако условието е така [tex]\lim_{x \to 1}\left ( x-\frac{1}{cotg\frac{\pi }{2x } } \right )[/tex].
--------------------
Има надежда и условието да е така
[tex]\lim_{x \to 1}\left ( \frac{x-1}{cotg\frac{\pi }{2 }x } \right )[/tex].
Тогава решението е
[tex]\lim_{x \to 1}\frac{x-1}{cotg\frac{\pi }{2 }x } =\lim_{x \to 1}(x-1)tg\frac{\pi }{2 }x[/tex].
[tex]=\lim_{x \to 1}\frac{x-1}{tg \left ( \frac{\pi }{2 }- \frac{\pi }{2 }x \right )}=[/tex]
[tex]=\lim_{x \to 1} cos\{\frac{ \pi}{2}(1-x) \frac{x-1}{ sin \frac{\pi }{2 } (x-1)}\}=[/tex]

[tex]\lim_{x \to 1} cos\{\frac{ \pi}{2}(1-x) \frac{x-1}{ sin \frac{\pi }{2 } (x-1)}\}=[/tex]

[tex]\lim_{x \to 1} cos\{\frac{ \pi}{2}(1-x).\frac{2}{ \pi }\} .\lim_{x \to 1} \frac{\frac{\pi }{2 } (x-1)}{ sin(\frac {\pi }{2 }) (x-1)}\}=[/tex]

[tex]\lim_{x \to 1} cos0.\frac{2}{ \pi } .\lim_{x \to 1}\left(\frac{\frac{\pi }{2 } (x-1)}{ sin (\frac{\pi }{2 }) (x-1)}\right )[/tex]
[tex]=1.\frac{2}{\pi }.1= \frac{2}{\pi }[/tex]
=======================

Ако обаче условието е така
[tex]\lim_{x \to 1} \left (\frac{x-1}{cotg\frac{\pi }{2x } }\right )[/tex], то границата е [tex]\frac{\pi }{2}[/tex].

------------------------------
Доста загубено време, за да реша кое условие е имал предвид питащият

[Гост]

мале брат жив и здрав... а за условието ...просто нз как да пиша тази прословута дробна черта или както ти со направил
между другото 3-та задача се падна на изпит...ох боже