Задача: Граница на функция

[Гост]

f(x) = [tex](\frac{3x}{3x +2 } )[/tex] при [tex]{x\to\infty }[/tex]
Отг: [tex]\lim_{x\to\infty } f(x) = e\sqrt{e}[/tex]
Пробвах се да я реша няколко пъти, но така и не можах да получа изцяло верен отговор.

[Гост]

[tex]f(x) =( \frac{3x}{3 + 2 })^{-2x}[/tex] при [tex]{x\to\infty }[/tex]
Извинявам се, пропуснах да добява -2x

[MENKA]

[tex]f(x) =( \frac{3x}{3 + 2 })^{-2x}[/tex] при [tex]{x\to\infty }[/tex]
Извинявам се, пропуснах да добява -2x

Напишете си отново задачата точно и ясно.Пак имате пропуск.

[piperlivko]

[tex]f(x) = (\frac{3x}{ 3x + 2})^{-2x}[/tex] при [tex]x \rightarrow \infty[/tex]
Отг: [tex]\lim_{x\to\infty } f(x) = e\sqrt{e}[/tex]

[Добромир Глухаров]

[tex]\lim_{x\to\infty}\(\frac{3x}{3x+2}\)^{-2x}=\lim_{x\to\infty}\(\frac{3x+2-2}{3x+2}\)^{-2x}=\lim_{x\to\infty}\(1-\frac{2}{3x+2}\)^{-2x}=\lim_{x\to\infty}\(1-\frac{2}{3x+2}\)^{-\frac{4}{3}\cdot\frac{3x}{2}}=\\=\lim_{x\to\infty}\(1-\frac{2}{3x+2}\)^{-\frac{4}{3}\cdot\(\frac{3x+2}{2}-1\)}=\lim_{x\to\infty}\(1-\frac{2}{3x+2}\)^{-\frac{4}{3}\cdot\frac{3x+2}{2}}\cdot\lim_{x\to\infty}\(1-\frac{2}{3x+2}\)^{\frac{4}{3}}=\\=\(\lim_{x\to\infty}\(1-\frac{1}{\frac{3x+2}{2}}\)^{\frac{3x+2}{2}}\)^{-\frac{4}{3}}\cdot\(1-0\)^{\frac{4}{3}}=\(\frac{1}{e}\)^{-\frac{4}{3}}=e^{1\frac{1}{3}}=e\sqrt[3]{e}[/tex]

Използва се основна граница [tex]\lim_{u\to\infty}\(1-\frac{1}{u}\)^u=\frac{1}{e}[/tex]

[pal702004]

Добре е веднага да се премине към реципрочната дроб:

[tex]\left(\frac{3x}{3x+2}\right)^{-2x}=\left(\frac{3x+2}{3x}\right)^{2x}=\left(1+\frac{2}{3x}\right)^{\frac{3x}{2}\cdot \frac 4 3}[/tex]

[piperlivko]

Благодаря за помощта!