Анализ, задача за производна и дължина на астроида

[Гост]

Здравейте,
Скоро ще съм на изпит по анализ и видях една интересна задача, която не мога да разбера точно някой неща. Задачата е :
Нека [tex]\alpha[/tex] : [a,b] -> R^n е гладка векторна функция на един аргумент с [tex]\alpha[/tex] (t) != (0,0).

Да се пресметне производната на [tex]\varphi (t)[/tex] = < [tex]\alpha[/tex] (t) , (2,3 ) > ,
където <. , . > е скаларно произведение в R^2 .
Какво означава кривата G = [tex]\alpha[/tex] ([a,b]) да е ректифицируема ? Кое наричаме нейна дължина? Пресметнете дължината на астроидата [tex]\alpha (t)[/tex] = ( cos^3, sin^3),
t [tex]\in[/tex] [0,2[tex]\pi[/tex] ]

Аз тук просто не мога да разбера, коя е функцията, която трябва да намеря производната. А втората част от задачата не мога да намеря никаква информация за нито един от въпросите, нито как се намира дължина на това.

Благодаря!

[Knowledge Greedy]

Има криви, на които дължината не може да бъде намерена. Ако ги погледнеш под микроскоп, виждаш все повече и повече гънки и е ясно, че макар и на по-малко място - кривата започва да увеличава дължината си. Фрактални криви. Пример за такава крива е например кривата на морския бряг от Бургас до Варна. Във всеки два различни мащаба дължината на тази крива е различна.
Други криви - например окръжността (или части от окръжността), си имат точно определена или определяема дължина (в случая [tex]C=2\pi R[/tex] на цялата окръжност).
Ето тези криви - от втория вид, се наричат ректифицируеми. А именно - с точно определяема дължина. (Крива, която може да бъде коригирана, в някакъв смисъл изправена - с цел да бъде измерена, измеряема, с измерима дължина).
Астроидата е такава крива. Нарича се още суперелипса, поради приликата на уравнението и в декартови координатати с уравнението на окръжност и с уравнението на елипса.

В задачата предполагам, че говорим за
Пресметнете дължината на астроидата [tex]\alpha (t) = ( cos^3t, sin^3t),
t \in [0,2\pi ][/tex]

Преди да продължим погледнете http://bg.wikipedia.org/wiki/ Астроида
----------------------------------

[Гост]

Да, благодаря.
Аз вече бях прочел в Уикипедия какво пише. Наистина добро обяснение от ваша страна.
Да става въпрос за синус и косинус на 3-та степен (нещо скрипта на форума се бъгна и ползвам ^ за степен).

[Knowledge Greedy]

Формулата за дължина на дъга от крива [tex]\kappa[/tex] зададена параметрично
[tex]\kappa :\left |\begin{matrix}
x=f(t)\\
y=g(t)
\end{matrix}\right.[/tex] , за [tex]t\in [a,b][/tex]
е
[tex]L=\int_{a}^{b }\sqrt{\left ( f'(t) \right )^2+\left ( g'(t) \right )^2}dt[/tex]

В случая [tex]\kappa[/tex] е вашата [tex]\alpha (t)[/tex]
и [tex]\left |\begin{matrix}
x=cos^3(t)\\
y=sin^3(t)
\end{matrix}\right.[/tex]
Следователно трябва да решим интеграла (производните са намерени)

[tex]L=\int_{0}^{2\pi }\sqrt{\left ( -3cos^2tsint \right )^2+\left ( 3sin^2t cost \right )^2}dt[/tex]

От симетрията и четността на подинтегралната функция веднага следва
[tex]L=4\int_{0}^{\frac{\pi }{2} } 3 sint .cost dt[/tex][tex]=12\frac{sin^2t }{ 2}\left |\begin{matrix}
^{\frac{\pi }{ 2}} \\
_{0}
\end{matrix}\right.[/tex][tex]=6[/tex]

[Гост]

Мдам ясно. Мерси много.
А за първата част от задачата за производната може ли да помогнете ?

[Гост]

от fi(t) = <a(t), (2, 3)> => fi(t) = 2a1(t) + 2a2(5)

dfi/dt = 2a1'(t) + 3a2'(t)

fi(t) - фи от t
а(t) - алфа от t
a1/2 (t) алфа 1/2 от t
ai'(t) - първа производна на алфа i

Според мен така трябва да се реши

[Knowledge Greedy]

от fi(t) = <a(t), (2, 3)> => fi(t) = 2a1(t) + 2a2(5)
dfi/dt = 2a1'(t) + 3a2'(t)...
Според мен така трябва да се реши

За първата част на задачата или по-скоро за първата задача съм съгласен с Гост-а, това е.
От условието за скаларно произведение с вектор (2; 3) следва, че [tex]\alpha(t)[/tex]
има скаларни компоненти
[tex]x=\alpha_{1}(t)[/tex] и [tex]y=\alpha_{2}(t)[/tex]
Разписваме скаларното произведение
[tex]\varphi (t)=2\alpha_{1}(t)+3\alpha_{2}(t)[/tex]
и намираме производната
[tex]\varphi'(t)=2\alpha'_{1}(t)+3\alpha'_{2}(t)[/tex]