Дали функция е диференцируема в точка.

[hbkmad]

f(x,y) = [tex](x^{2} + y^{2} )[/tex] * sin ( [tex]\frac{1}{x^2 + y^2 }[/tex] ) , за (x,y) != (0,0)
f(x,y) = 0, за (x,y) = (0,0)

Въпроса е да се докаже, че функцията е диференцируема в т.(0,0)

Аз имам едно решение от един сборник, но не е обяснено нищо. Ако може някой да ми покаже какво се прави при такъв въпрос, ще му бъда благодарен.

[Гост]

Да означим [tex]r^2=x^2+y^2[/tex] и да разгледаме функцията на една променлива [tex]g(r)=r^2 \sin (1/r^2)[/tex] за [tex]r \ne 0[/tex] и [tex]g(0)=0[/tex]. Да образуваме диференчното частно в 0:
[tex]\frac{r^2 \sin (1/r^2)}{r}=r \sin (1/r^2) \to 0[/tex] при [tex]r \to 0,[/tex] защото множителя [tex]|\sin (1/r^2)| \le 1[/tex].

Следователно функцията f има производна по всяко направление през 0-та, следователно е диференцируема в 0-та.

[hbkmad]

А какво става ако не може да положим и да направим функцията само на 1 променлива.
АКо въпроса е същия, но за функцията [tex]\sqrt[3]{x*y}[/tex].
(Не знам дали и тук не може да се направи положи, но няма ли начин без полагане )

[Гост]

не е казано че трябва да е с полагане. За новия ти пример като сметнеш частните производни [tex]z'_x=\frac{1}{3}(xy)^{-2/3}y=\sqrt[3]{\frac{y}{x^2}}[/tex] [tex]z'_y=\frac{1}{3}(xy)^{-2/3}x=\sqrt[3]{\frac{x}{y^2}}[/tex] ще видиш, че те не съществуват в т, (0,0) и следователно там тази функция не е диференцируема.

[hbkmad]

Един въпрос, какво означава, че не съществуват в точка (0,0) ? Знам, че трябва да съществуват границите, за да съществуват, но ако може просто да го обясниш с моментния пример.

И ако и двете не съществуват => не е диференцируема, но ако съществува само едната примерно ?

Знам, че предполагам са тъпи въпроси, но просто ми е напълно непонятно това.

[Knowledge Greedy]

След като се установи, че съществуват - трябва при това да са и с една и съща стойност. Ако не - отново не е диференцируема.

[hbkmad]

Тоест, ако условието е винаги за точка (0,0), самата функция трябва да е симетрична ?

Също така, за да съществува [tex]f_{x}[/tex]' примерно, трябва да съществува границата lim [tex]\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x }[/tex], при x-> 0, нали така ? Същото и за y, но ако и двете същесвуват, какво става? Как се проверява ?

Четох, че щом притежава непрекъснати частни производни за всяка една от точките си (в случая x и y ), в околност на точката p, то тя е диференцируема в тази точка. Това мога да си го представя и ми е ясно, но как да проверя това ?

[hbkmad]

Някой може ли да отговори на последния ми въпрос ? Когато и двете частни съествуват, какво правим ?

[hbkmad]

Например функцията [tex]\sqrt{|xy|}[/tex] има частни производни в (0,0), но не е диференцируема в нея. Защо ?

[Гост]

Има вятър частни производни. Я ги напиши да ги видим.

[Гост]

Например функцията [tex]\sqrt{|xy|}[/tex] има частни производни в (0,0), но не е диференцируема в нея. Защо ?

Функцията [tex]\sqrt{|xy|}[/tex] има частни производни в т.[tex](0,0)[/tex]. И двете са нули [tex]z^,_x(0,0)=z^,_y(0,0)=0[/tex].
Хайде сега отвори си учебника и прочети какво значи една функция да е диференцируема в дадена точка (почни от функция на една променлива).
От написаното във форума (тези които ти отговарят) май никой си няма Хабер!

[Гост]

Защо не ги напишете тези производни, да ги видим, да добием Хабер?

[Гост]

Какво има да се пишат? Дадената функция е константа (0) по абцисната и ординатата( [tex](0,x)[/tex] и [tex](y,0)[/tex] ), следователно [tex]z'_x[/tex] и [tex]z'_y[/tex] са нули в/у тези две прави и в частност в точката [tex](0,0)[/tex]. Въпреки това ф-ята не е диференцируема в (0,0).

[hbkmad]

Ами аз така и не си намерих нормален учебник за тази част от анализа. Както и да е функцията е диференцируема, ако съществуват двете частни производни (ако говорим за двумерно пространство) и ако границата
lim [tex]\frac{f(x)-f(x_{0})-df(x_{0})(x-x_{0})}{||x-x_{0}|| } =0[/tex] , при x -> [tex]x_{0}[/tex], където [tex]df(x_{0})[/tex] е диференциал на f в [tex]x_{0}.[/tex],но как се прилага на практика всичко това ? Как се намира този диференциал ?

Видях още едно нещо, че ако частните производни съществуват и са непрекъснати в тази точка то и f е диференцируема в тази точка, това вярно ли е ?

[hbkmad]

Примерно [tex]z_{x}'[/tex] е [tex]\frac{\sqrt{y} }{ 2*\sqrt{x} }[/tex], но функцията е прекъсната в точката (0,0). Това означава и че другата функция не е диференцируема в тази точка ?

[Гост]

Ако [tex]f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m[/tex] то схващай производната на тази ф-я в точката [tex]x_0[/tex] като един линеен оператор [tex]L: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m[/tex] , който приближава много добре [tex]f(x)-f(x_0)[/tex] около точката [tex]x_0[/tex], т.е. грешката
[tex]\Delta(h) = f(x_0+h)-f(x_0)- L(h)[/tex]
e с порядък по малка от вектора [tex]h[/tex] , т.е.
[tex]\frac{\| \Delta(h)\| }{\|h\|}\to 0[/tex] при [tex]\|h\| \to 0[/tex]
Този линеен оператор е точно диференциала на [tex]f[/tex] в [tex]x_0[/tex]. В случая когато [tex]f :\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}[/tex] и [tex]h=(dx,dy)[/tex] и ф-ята има непрекъснати частни производни в [tex]x_0[/tex] то [tex]d f(x_0)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0) dx + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0) dy[/tex].

[hbkmad]

А не е ли достатъчно да докажа, че самите частни производни са непрекъснати в точката и от там да следва, че и функцията е диференцируема в тази точка ?

[Knowledge Greedy]

Грешка!
Има функции, които са непрекъснати във всяка своя точка (разбирай [tex]\forall x[/tex] от дефиниционното си множество), но не притежават производна в никоя точка.

Обратното е вярно - във всяка точка, в която функцията е диференцируема, в същата точка тя е непрекъсната.

[drago]

А не е ли достатъчно да докажа, че самите частни производни са непрекъснати в точката и от там да следва, че и функцията е диференцируема в тази точка ?

Абсолютно вярно. Това е най-попурното достатъчно условие за диференцируемост. Това, което исках да кажа в горния пост е, че производната в дадена точка на функцията в многомерния случай, ако съществува, трябва да се схваща като линенен оператор, който приближава много добре [tex]\Delta f(x)=f(x+\Delta x)- f(x)[/tex] в тази точка. Това е по-силно,отколкото да приближаваш само по някои от направленията. Може би хора по склонни към някаква физическа интерпретация ще бъдат улеснени. За тези, които след като им мине изпита няма да се занимават с това, е добре това да остане като идея, за всичко друго си има справочници, ако все пак някога потрябва.