Интеграл

[piperlivko]

Внасяне на част от подинтегралната функция под знака на диференциала.
Може ли да ми покажете как се решава тази задача:
[tex]\int_{}^{ }[/tex][tex]\frac{arctg\sqrt{x} }{\sqrt{x}(1+x) }dx[/tex]
ОТГ.: [tex](arctg\sqrt{x} )^2 + C[/tex]

[MENKA]

1/(√x(1+x)) го внесете под знака на диференциала,защото това е производната на arctg√x и тогава имате вече основен интеграл-интеграл от arctg√xd(arctg√x)=arctg√x цялото на нтора степен +C

[Knowledge Greedy]

Имаме последователно
[tex]\int \frac{arctg \sqrt{x} }{(1+x)\sqrt{x} }dx=[/tex]
[tex]=2\int \frac{arctg \sqrt{x} }{(1+x) }\frac{dx}{2\sqrt{x}}=[/tex]
[tex]=2\int \frac{arctg \sqrt{x} }{(1+x) }d\sqrt{x} =[/tex]
[tex]=2\int arctg \sqrt{x}\frac{d\sqrt{x} }{1+(\sqrt{x})^2 }=[/tex]
[tex]=2\int arctg \sqrt{x}darctg \sqrt{x}=arctg^2 \sqrt{x} +C[/tex]

--------------------------
Използвахме табличните интеграли
[tex]\int\frac{dx}{2\sqrt{x}}=\sqrt{x}[/tex]

[tex]\int\frac{du }{1+u^2 }=arctgu[/tex], където[tex]u=\sqrt{x}[/tex]

[tex]\int vdv=\frac{v^2}{2}[/tex], където [tex]v=arctgu[/tex]