Няколко задачи и двоен интеграл

[crocodil]

Имам нужда от помощ при решаването на тези задачи.

Задачи.

Analiz2Zadachi.jpg (408.67 KiB) Прегледано 747 пъти

[crocodil]

Никой ли не може да ми помогне?

[Knowledge Greedy]

Ще помогнем , но не много бързо. След работа.

[crocodil]

Някой?

[crocodil]

Може ли някой да помогне?

[Гост]

Може ли някой да помогне?

Скрит текст: покажи

НЕ

[Knowledge Greedy]

1. [tex]f(x, y,z)=xy+yz[/tex]
при [tex]y+z=2[/tex] и [tex]x^2+y^2=2[/tex], [tex]x>0, y>0, z>0[/tex].

Означаваме [tex]g(x, y,z)=y+z-2[/tex] и [tex]h(x, y,z) =x^2+y^2-2[/tex]
Формираме функцията на Лагранж [tex]L(x, y,z)=f(x, y,z)+\alpha g(x, y,z)+\beta h(x, y,z)[/tex]
намираме производните
[tex]\frac{\partial L}{\partial x}[/tex], [tex]\frac{\partial L }{\partial y}[/tex] и [tex]\frac{\partial L}{\partial z}[/tex],
след което решаваме системата
[tex]\left |\begin{matrix}
& & y & +&2\beta x & =0 \\
x &+z + &\alpha&+&2 \beta y &=0 \\
& & y & +&\alpha & =0\\
& & y &+&z &=2 \\
& & x^2 & +&y^2 & =2
\end{matrix}\right.[/tex]
(трите производни приравнени на нула и двете дадени ограничения).
След изключване на множителите [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] на Лагранж, посредством първото и третото уравнение
получаваме системата (второто, четвъртото и петото)
[tex]\left |\begin{matrix}
& & & &2\beta & = - \frac{y}{x} \\
x &+z - & y &-& y \frac{y}{x} &=0 \\
& & & &\alpha & = -y\\
& & y &+&z &=2 \\
& & x^2 & +&y^2 & =2
\end{matrix}\right.[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\left |\begin{matrix}
x^2 &+xz - & xy &-& y^2 &=0 \\
& & y &+&z &=2 \\
& & x^2 & +&y^2 & =2
\end{matrix}\right.[/tex]
чиито решения са
[tex]\left |\begin{matrix}
x & = & 1 \\
y & = & 1 \\
z & = & 1
\end{matrix}\right.[/tex] , [tex]\left |\begin{matrix}
x & = & -1 \\
y & = & 1 \\
z & = & 1
\end{matrix}\right.[/tex], [tex]\left |\begin{matrix}
x & = & -\frac{1+\sqrt{3} }{ 2} \\
y & = & \frac{\sqrt{3}-1 }{ 2} \\
z & = & \frac{5-\sqrt{3} }{ 2}
\end{matrix}\right.[/tex] и [tex]\left |\begin{matrix}
x & = & \frac{\sqrt{3}-1 }{ 2} \\
y & = & -\frac{\sqrt{3}+1 }{ 2} \\
z & = & \frac{5+\sqrt{3} }{ 2}
\end{matrix}\right.[/tex].
Последните три обаче не удовлетворяват условията [tex]x>0, y>0, z>0[/tex].

Извод: дадената функция притежава само локален максимум в областта, със зададените ограничения.
[tex]f_{max}(x, y,z)=f(1, 1,1)=2[/tex] .

(Пропуснато е прилагането на критерия за вида на екстремума, но той може да се замести със съчетанието на неравенството за средно геометрично- средно аритметично [tex]xy\le \left ( \frac{x+y}{2 } \right )^2[/tex] и неравенството за средно геометрично- средно квадратично [tex]\sqrt{yz} \le \sqrt{\frac{y^2+z^2}{2 } }[/tex] )