Търся граница

[a4y111]

Приятели бихтели помогнали с един пример
lim x-->+∞ [Ln(x+1) - Lnх] да се реши по лопитал ,моля ако някои има свободно време да я реши ,МЕрси

[Добромир Глухаров]

Доколкото разбирам, условието е: [tex]\lim_{x\to+\infty}\(ln(x+1)-ln(x)\)=?[/tex].

Ако наистина това е условието, то няма никаква нужда от Лопитал.

[tex]\lim_{x\to+\infty}\(ln(x+1)-ln(x)\)=\lim_{x\to+\infty}\(ln\frac{x+1}{x}\)=\lim_{x\to+\infty}\(ln\(1+\frac{1}{x}\)\)=ln\(\lim_{x\to+\infty}\(1+\frac{1}{x}\)\)=ln(1+0)=ln(1)=0[/tex]

[a4y111]

Доколкото разбирам, условието е: [tex]\lim_{x\to+\infty}\(ln(x+1)-ln(x)\)=?[/tex].

Ако наистина това е условието, то няма никаква нужда от Лопитал.

[tex]\lim_{x\to+\infty}\(ln(x+1)-ln(x)\)=\lim_{x\to+\infty}\(ln\frac{x+1}{x}\)=\lim_{x\to+\infty}\(ln\(1+\frac{1}{x}\)\)=ln\(\lim_{x\to+\infty}\(1+\frac{1}{x}\)\)=ln(1+0)=ln(1)=0[/tex]

Да това е условието,но как става това ln(x+1)/1? а ако трябва да по лопитал как става,моля ако имаш минутка свободна да дадеш отговор,че таз задача е била на изпит днес

[Knowledge Greedy]

...
[tex]ln(x+1)-ln(x)\)=ln\frac{x+1}{x}[/tex]

Това е просто свойство на логаритъма.

След това дробта [tex]\frac{x+1}{x}[/tex] се разбива на сбор от две дроби [tex]\frac{x}{x}+\frac{1}{x}[/tex] .
Първата е съкратена [tex]\frac{\cancel{x}}{\cancel{x}}=1[/tex] и така границата се получава от равенството

...[tex]...=\lim_{x\to+\infty}\(ln\(1+\frac{1}{x}\)\)=ln\(\lim_{x\to+\infty}\(1+\frac{1}{x}\)\)=ln(1+0)=ln(1)=0[/tex]

Като тук е използвана и основната граница [tex]\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{ x }=0[/tex]

Не си представям по-добро решение от това на Добромир.
Все пак, за да не разбутваме костите на Маркиз Гийом Франсоа дьо Лопитал, Ви предлагам следната добавка в решението - като приложение на правилото на Лопитал (то е свързано с граници на дроби, числителят и знаменателят на които имат едновременно граници или нула или безкрайност).

[tex]\lim_{x\to+\infty}\(ln\(\frac{x+1}{x}\)\)=ln\(\lim_{x\to+\infty}\(\frac{ (x+1)^'}{(x)^'}\)\)=ln(\frac{1}{1 } )=ln(1)=0[/tex]
нека да е това.