Двоен интеграл - обем

[kraikov]

Здравейте, успях да разбера и вече без проблем намирам лице на дадена област чрез двоен интеграл, но срещам голямо затруднение в намирането на обем на тяло чрез двоен интеграл. Ако някой успее да ми обясни или реши следната задача ще съм много благодарен!

С помощта на двоен интеграл пресметнете обема на тялото, заградено от повърхнините:
[tex]z^2=x^2+y^2\\
z\ge0\\
2-z=x^2+y^2[/tex]

[krumbgf]

Ще напиша какви са моите разсъждения, от там нататък ти си прецени дали са верни (все пак едвам закачих 3ка на тия задачи )
Двоен интеграл над множество и функция е ориентирания обем на тялото между функцията и множеството. Демек обема на твоето тяло ще е разликата между ориентираните обемите заключени между множество и двете функции които са ти дадени.
Очевидно множеството над което ще разглеждаме функциите ще е x^2+y^2 което е окръжност с център (0,0).
От последното уравнение следва z<=2. Тоест радиуса на окръжноста ще се мени от 0 до \sqrt{2}
Двете функции които ще интегрираш са ти z=2- x^2 - y^2 и z=\sqrt{x^2 + y^2}
После извършвам полярна смяна и пресмятам интегралите само във един октант и уножавам по 4, защото функциите са изцяло в горните 4 октанта и са симетрични във всеки от тях.
Ето така го мисля че е :

20140622_103809.jpg (1.35 MiB) Прегледано 892 пъти