Теореми за средните стойности(Рол, Лагранж, Коши)

[Гост]

Здравейте,
опитвам се да намеря задачи и решения, в които трябва да се използва някоя от теоремите за средните стойности(Рол, Лагранж, Коши).

Рол:
Ако f(x) е непрекъсната в [a, b], диференцируема в (a,b) и f(a) = f(b), то съществува поне една точка 'c', за която
f'(c) = 0.

Лагранж:
Ако f(x) е непрекъсната в [a, b], диференцируема в (a,b) то съществува поне една точка 'c' за която [tex]f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/tex]


Коши:
Ако g е непрекъсната в затворения интервал [a, b] и притежава производна поне в
отворения интервал (a, b), като g'(x) ≠ 0 при x ∈ (a, b), то съществува c ∈ (a, b), такова
че:

[tex]\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}[/tex]


Това което имам за момента като задачи е това:
Като се използва теоремата на Лагранж, да се докаже, че:

[tex]\ln(1+x) > x[/tex] при x>0

или че

|arctg x2 – arctg x1| ≤ |x2 - x1| при x1, x2 ∈ R

Ще се радвам ако някой ми обясни как стават, защото аз не мога да я приложа към решението на тези 2 задачи.

Благодаря превдарително и хубав ден!

[krumbgf]

Като за начало първото неравенство дето си дал е наобратно
Иначе идеята е да прехвърлиш функциите от едната страна на неравенството (и те ти образуват една нова функция) , а от другата да остане някаква константа.
След това смяташ производната на новата функция и тя вероятно ще ти се получи положителна (или отрицателна) за всяко x в дадения интервал. След това от теоремата на Лагранж следва че новата функция е монотонно растяща (намаляваща) за дадения интервал. След това просто смяташ стойността на на новата функция в точката където тя е най-малка (или най-голяма) и тя "магически" се получава да е точно равна на константата от другата страна на неравенството
Ето как изглежда :

20140622_122603.jpg (2 MiB) Прегледано 3689 пъти

За другата задача схемата е същата, просто фиксираме x1 да е някакво реално число и разглеждаме функцията като функция на една променлива x2. Гледаме и два случая за модулите.

[Гост]

А случайно да знаеш къде мога да намеря такива задачи?

[Гост]

(а)
Един монах напуска манастира си в 7:00 сутринта и тръгва (кетери се) по неговия обичаен път до върха на планината, където пристига в 7:00 вечерта.
Следващата сутрин той тръгва в 7:00 сутринта от върха и взема (абсолютно) същия път обратно, пристигайки в манастира в 7:00 вечерта.
Да се покаже, че има точка на неговия път, която монахът ще премине точно по едно и също време на деня и в двата дни.
(б)
Да разгледаме следната скорост на монаха = денивелация за единица време = например, монахът се катери със скорост/ денивелация 3 метра над мосркото равнище за една минута в някой момент от време през пъвия ден, или например, монахът се катери (слиза) със скорост денивелация -2 (минус 2) метра за една минута (в някой момент от време) през вториа ден.
Да се покаже, че има един и същи момент от време, в който монахът има една и съща скорост денивелация и в двата дни (естествено с разлика в знака +/- за катерене/ слизане).

[KOPMOPAH]

(а)
Един монах напуска манастира си в 7:00 сутринта и тръгва (кетери се) по неговия обичаен път до върха на планината, където пристига в 7:00 вечерта.
Следващата сутрин той тръгва в 7:00 сутринта от върха и взема (абсолютно) същия път обратно, пристигайки в манастира в 7:00 вечерта.
Да се покаже, че има точка на неговия път, която монахът ще премине точно по едно и също време на деня и в двата дни.
...

Класическото доказателство е просто и очевидно - приемаме, че има двама монаси. Те тръгват ЕДНОВРЕМЕННО в 7:00, единият - от манастира, а другият - от върха на планината. Има ли съмнение, че все някъде по пътеката ще се срещнат?

[peyo]

(а)
Един монах напуска манастира си в 7:00 сутринта и тръгва (кетери се) по неговия обичаен път до върха на планината, където пристига в 7:00 вечерта.
Следващата сутрин той тръгва в 7:00 сутринта от върха и взема (абсолютно) същия път обратно, пристигайки в манастира в 7:00 вечерта.
Да се покаже, че има точка на неговия път, която монахът ще премине точно по едно и също време на деня и в двата дни.
(б)
Да разгледаме следната скорост на монаха = денивелация за единица време = например, монахът се катери със скорост/ денивелация 3 метра над мосркото равнище за една минута в някой момент от време през пъвия ден, или например, монахът се катери (слиза) със скорост денивелация -2 (минус 2) метра за една минута (в някой момент от време) през вториа ден.
Да се покаже, че има един и същи момент от време, в който монахът има една и съща скорост денивелация и в двата дни (естествено с разлика в знака +/- за катерене/ слизане).

Да видим б)

Да приемем, че разликите във височините от манастира до върха е 1200 метра. Тогава според а) можем да сметнем, че средната скорост на монаха = денивелация за единица време както на отиване така и на връшане е:
$V = 1200 метра/12часа = 100 м/ч$

Сега може да не е очевидно, но скоростта на монаха като функция на времето трябва да е непрекъсната. Ако не е непрекъсната, то лесно може да докажем, че б) не е вярно. Например монах1 се движи през цялото време със скорост 100м/ч а монах2 1/3 от времето със 166.66...м/ч а 2/3 от времето със 66.6666...м/ч.

В едма напълно реална ситиация монах1 и монах2 ще започнат със скорост 0м/ч и трябва да достигнат 100м/ч поне за да имат тази средна скорост. Тогава има безброй много моменти от 0 то 100м/ч когато скоростите им са равни.

Но да разгледамее една малко по-малко реална ситуация когато началните им скоросто не са 0. Тогава независимо от техните начални скорости те трябва да минат през скорост 100м/ч за да може средната им скорост да бъде 100м/ч и тъй като функциите на скоростта са им непрекъснати, то те ще са еднакви при 100м/ч поне.

[Гост]

чудесно, и в двата случая с използване на "Теоремата на Болцано(-Вайерщрас) (за междинните стойности)",
а поне за (б) нещо с "Теоремата на Рол" не става ли ...
например, ако специално е указано/ изискано да се използва/ приложи "Рол"

[Гост]

чудесно, и в двата случая с използване на "Теоремата на Болцано(-Вайерщрас) (за междинните стойности)",
а поне за (б) нещо с "Теоремата на Рол" не става ли ...
например, ако специално е указано/ изискано да се използва/ приложи "Рол"

т.е. нека функцията f1(t) = надморската височина на монаха в момента от време t през 1-вия ден когато се катери,
така f1(7) = M = надморската височина на манастира (Драгалевският да речем)
а, f1(19) = V = надморската височина на върха (Черни връх примерно);
аналогично,
нека функцията f2(t) = надморската височина на монаха в момента от време t през 2-рия ден когато слиза,
тогава f2(7) = V > M,
а, f2(19) = М,

за (а)
разглеждаме функциата f(t), която е разлика на двете функции f1 и f2, и прилагаме Теоремата на Болцано;
a, за (б)
модифицираме съвсем леко f(t) и прилагаме Теоремата на Рол;

[Гост]

чудесно, и в двата случая с използване на "Теоремата на Болцано(-Вайерщрас) (за междинните стойности)",
а поне за (б) нещо с "Теоремата на Рол" не става ли ...
например, ако специално е указано/ изискано да се използва/ приложи "Рол"

т.е. нека функцията f1(t) = надморската височина на монаха в момента от време t през 1-вия ден когато се катери,
така f1(7) = M = надморската височина на манастира (Драгалевският да речем)
а, f1(19) = V = надморската височина на върха (Черни връх примерно);
аналогично,
нека функцията f2(t) = надморската височина на монаха в момента от време t през 2-рия ден когато слиза,
тогава f2(7) = V > M,
а, f2(19) = М,

за (а)
разглеждаме функциата f(t), която е разлика на двете функции f1 и f2, и прилагаме Теоремата на Болцано;
a, за (б)
модифицираме съвсем леко f(t) и прилагаме Теоремата на Рол;

... хм, а дали може да се формулира въпрос подобен на (а) и (б), но за ускорението му ...
(като предполагаме, че той не се телепортира, а ускорява като непрекъсната и гладка функция)

[Гост]

Здравейте,
опитвам се да намеря задачи и решения, в които трябва да се използва някоя от теоремите за средните стойности(Рол, Лагранж, Коши).

Рол:
Ако f(x) е непрекъсната в [a, b], диференцируема в (a,b) и f(a) = f(b), то съществува поне една точка 'c', за която
f'(c) = 0.

Лагранж:
Ако f(x) е непрекъсната в [a, b], диференцируема в (a,b) то съществува поне една точка 'c' за която [tex]f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/tex]


Коши:
Ако g е непрекъсната в затворения интервал [a, b] и притежава производна поне в
отворения интервал (a, b), като g'(x) ≠ 0 при x ∈ (a, b), то съществува c ∈ (a, b), такова
че:

[tex]\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}[/tex]


Това което имам за момента като задачи е това:
Като се използва теоремата на Лагранж, да се докаже, че:

[tex]\ln(1+x) > x[/tex] при x>0

или че

|arctg x2 – arctg x1| ≤ |x2 - x1| при x1, x2 ∈ R

Ще се радвам ако някой ми обясни как стават, защото аз не мога да я приложа към решението на тези 2 задачи.

Благодаря превдарително и хубав ден!