ДИС 2 -Изпит

[Гост]

Здравейте. Имам нужда от помощ за следните задачи от изпита по Диференциално и интегрално смятане 2-ра част.

Задача 1 ) Пресметнете лицето на фигурата, ограниченаот кривите y=3-x^{2 } и y=x+1

Задача 2) Нека f_{x,y } = x^{3 } + y^{3 } - xy + 1. Изследвайте [tex]\int_{}^{ }[/tex] за локални екстремуми.

Задача 3) Нека f_{x,y } = x^{3 } + y^{3 } - xy + 1. Намерете глобалните екстремуми на f в правоъгълника

П \begin{tabular}{|l}0 \le x \le 2\\ -1 \le y \le 1\end{tabular}

Задача 4) Изследвайте за сходимост интеграла \int_{0}^{ \infty } \frac{dx}{\sqrt{x^{2 } + x } }

Много ще съм Ви благодарна , ако ми покажете как се решават задачите, защото изпита наближава скоро.

[MENKA]

Ето сайтове със теория и примери
http://stancho.roncho.net/HighMath2/Mul ... rtDer.html

http://fmi.wikidot.com/anal214
А ако намерите "МАТЕМАТИЧЕСКИ АНАЛИЗ" на проф. Дойчин Дойчинов там са дадени всички критерий за сходимост с добре обяснени примери.

[Гост]

Аз го имам на теория как става, но не ми е ясно на практика в задачите как става

[MENKA]

Аз го имам на теория как става, но не ми е ясно на практика в задачите как става

А погледвахте ли копираните сайтове-има примери.

[Гост]

Преглеждам ги в момента и мисля, че разбрах как се решава втората задача. По този начин мисля, че трябва да е :

http://stancho.roncho.net/HighMath2/Mul ... heory.html

[MENKA]

Преглеждам ги в момента и мисля, че разбрах как се решава втората задача. По този начин мисля, че трябва да е :

http://stancho.roncho.net/HighMath2/Mul ... heory.html

Да,точно така.За критерийте за сходимост ви препоръчвам математически анализ на проф. Дойчинов-написано грамотно и много лесно и свободно обяснено.

[Гост]

Ще прочета от учебника на проф.Дойчинов за сходимостта, но ми остават другите две задачи, които съм написала и не мога да реша.

[Гост]

Наистина не мога да реша останалите 2 задачи, а имам нужда, за да си взема изпита. Моля ви помогнете

[Гост]

Мисля, че реших първата задача, но не съм сигурна, че е вярна. Ще ви бъда много благодарна ако я погледнете дали е вярна.

[Knowledge Greedy]

В задача 1 всичко е вярно с изключение на сметките на края. Аз получих [tex]4\frac{1}{2}[/tex]. Програмата ми за смятане получи същото

Определеният интеграл за ДИС 2.PNG (1.95 KiB) Прегледано 3282 пъти

[Гост]

Много благодаря. Сбъркала съм явно в сметките някъде, но важното е да знам начина на решаване. Остана ми само третата задача. Ако знаете как се решава ще бъда много благодарна.

[Knowledge Greedy]

Задача 3) явно е продължение на задача 2

Нека [tex]f(x,y) = x^{3 } + y^{3 } - xy + 1[/tex]
[tex]\begin{tabular}{|l}0 \le x \le 2\\ -1 \le y \le 1\end{tabular}[/tex]

Функцията [tex]f(x,y)[/tex] трябва да изследваме по контура.
1. Да означим [tex]f(x;-1) =\varphi_1 ( x)= x^{3 } + x[/tex]. Тя е с дефиниционно множество [tex][0;2][/tex]. Производната и е строго положителна, ето защо тя е растяща в този интервал и по контура
[tex]\begin{tabular}{|l}0 \le x \le 2\\ y= - 1\end{tabular}[/tex] [tex]\Rightarrow 0=\varphi_1 ( 0)\le \varphi_1 ( x)\le \varphi_1 ( 2)=10[/tex], което значи [tex]0 \le f(x,y)\le 10[/tex]

2. Да означим [tex]f(0;y) =\varphi_2 ( y)= y^{3 } + 1[/tex]. Тя е с дефиниционно множество [tex][-1;1][/tex]. Производната и е строго положителна, ето защо тя е растяща в този интервал и по контура [tex]\begin{tabular}{|l} x =0\\ -1 \le y \le 1\end{tabular}\Rightarrow[/tex]
[tex]0 \le f(x,y)\le 2[/tex]

3. Да означим [tex]f(x;1) =\varphi_3 ( x)= x^{3 } - x+2[/tex]. Тя е с дефиниционно множество [tex][0;2][/tex]. Производната и [tex]\varphi'_3 ( x)=3x^2-1[/tex] ни казва, че [tex]\varphi_3 ( x)[/tex] e растяща в интервала [tex]\left ( \frac{\sqrt{3}}{3};2 \right ][/tex] и намаляваща в [tex]\left [0;\frac{\sqrt{3}}{3} \right )[/tex].
За да получим най-голямата стойност, трябва да сравним стойностите и [tex]\varphi_3 (0)[/tex] и [tex]\varphi_3 (2)[/tex],
а най-малката по този контур е при [tex]x=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex] .
Така получихме, че върху контура [tex]\begin{tabular}{|l}0 \le x \le 2\\ y= 1\end{tabular}[/tex] [tex]\Rightarrow 2-\frac{\sqrt{3} }{3 } \le f(x,y)\le8[/tex].

4. Да означим [tex]f(2;y) =\varphi_4 ( y)= y^{3 } - 2y+9[/tex]. Тя е с дефиниционно множество [tex][-1;1][/tex]. Производната и [tex]\varphi'_4 ( x)=3y^2-2[/tex] ни казва, че [tex]\varphi_4 ( x)[/tex] e растяща в интервала [tex]\left [-1, -\frac{\sqrt{6}}{3} \right )[/tex], намаляваща в [tex]\left [ -\frac{\sqrt{6}}{3};\frac{\sqrt{6}}{3} \right )[/tex] и e растяща в интервала [tex]\left ( \frac{\sqrt{6}}{3};1 \right][/tex]. За да получим най-голямата, трябва да сравним стойностите [tex]\varphi_4 \left (- \frac{\sqrt{6}}{3} \right )=9+\frac{4\sqrt{6}}{3}[/tex] и [tex]\varphi_4 (1)=8[/tex] ,
а за най-малката по този контур - да сравним стойностите и при [tex]y=-1[/tex] и при [tex]y=\frac{\sqrt{6}}{3}[/tex] - те са
[tex]\varphi_4 (-1)=10[/tex] и [tex]\varphi_4 \left (\frac{\sqrt{6}}{3} \right )=9-\frac{4\sqrt{6}}{3}[/tex].
Така получихме, че върху контура [tex]\begin{tabular}{|l}x=2 \\ -1\le y\le 1\end{tabular}[/tex] [tex]\Rightarrow 9-\frac{4\sqrt{6}}{3} \le f(x,y)\le9+\frac{4\sqrt{6}}{3}[/tex].

5. Да се върнем на задача 2. Следвайки превъзходното ръководство на моя състудент Станчо Павлов http://stancho.roncho.net/HighMath2/Mul ... heory.html последователно получаваме:
- От системата
[tex]\begin{tabular}{|l} f'_x=3x^2-y=0\\ f'_y=3y^2-x=0\end{tabular}[/tex]
възможните критични точки за локални екстремуми [tex]A_1(0;0)[/tex] и [tex]A_2\left (\frac{1}{3} ;\frac{1}{3} \right )[/tex]
- С помощта на вторите частни производни [tex]f''_{xx}=6x[/tex], [tex]f''_{yy}=6y[/tex] и [tex]f''_{xy}=-1[/tex], конструираме величината [tex]\Delta (x,y)= f''_{xx}.f''_{yy}- \left ( f''_{xy} \right )^2=36xy-1[/tex]
- Определяме[tex]\Delta (0;0)=-1[/tex] [tex]\Rightarrow f(x,y)[/tex] няма екстремум в тази точка.
- Определяме[tex]\Delta \left ( \frac{1}{3} ;\frac{1}{3} \right )>0[/tex] [tex]\Rightarrow f(x,y)[/tex] има екстремум.
- За вида на екстремума пресмятаме [tex]f''_{xy}\left ( \frac{1}{3} ;\frac{1}{3} \right )=-1<0[/tex][tex]\Rightarrow f(x,y)[/tex] има локален минимум.
- Пресмятаме локалния минимум [tex]f_{min}(x,y) =f\left ( \frac{1}{3} ;\frac{1}{3} \right )=\frac{26}{27 }[/tex].

6. Сравняваме резултатите от точки 1,2,3,4 и 5.
Глобалните (абсолютните) екстремуми на [tex]f(x,y)[/tex] са както следва:

[tex]minf(x,y)=f(0;-1)=0[/tex]
и
[tex]maxf(x,y)=f\left (2; -\frac{\sqrt{6}}{3} \right )=9+\frac{4\sqrt{6}}{3}[/tex]

[Knowledge Greedy]

[tex]\int_{0}^{ \infty } \frac{dx}{\sqrt{x^{2 } + x } }[/tex]

Като представим знаменателя така [tex]\sqrt{x^{2 } + x }=\frac{1}{2 }\sqrt{(2x+1)^2-1 }[/tex]
и положим [tex]2x+1=t[/tex], след смяна на границите на интегриране получаваме интеграла

[tex]\int_{1}^{ \infty } \frac{dt}{\sqrt{t^{2 } -1 } }[/tex]

В повечето курсове
[tex]\int \frac{dt}{\sqrt{t^2+a } }=ln\left |t+\sqrt{t^2+a} \right |[/tex]
е табличен интеграл.
Сега осъзнаваме въпроса за сходимостта. При [tex]t=1[/tex] подинтегралната функция не е дефинирана (както впрочем и първоначалният - при [tex]x=0[/tex]), пресметнатият определен интеграл дивергира към [tex]+\infty[/tex] при [tex]t\rightarrow +\infty[/tex].
За това разглеждаме интеграла [tex]\int_{1+\epsilon}^{ A } \frac{dt}{\sqrt{t^{2 } -1 } }[/tex].
Според написания неопределен интеграл
[tex]\int_{1+\epsilon}^{ A } \frac{dt}{\sqrt{t^{2 } -1 } }=ln\left |t+\sqrt{t^2-1} \right |\left|\begin{matrix}
A & &\\
& &\\

t=&1+\varepsilon &\end{matrix}\right[/tex]
[tex]=ln |A+\sqrt{A^2-1}|-ln |1+\epsilon+\sqrt{\epsilon^2+2\epsilon}|[/tex]

Явно при [tex]A\rightarrow +\infty[/tex] и [tex]\varepsilon \rightarrow 0[/tex] даденият интеграл е разходящ.
-----------------------------------------

Възможно е изпитващият да има предвид оценяване разходимостта с помощта на известен разходящ интеграл.
Например
[tex]\int_{0}^{ \infty } \frac{dx}{ x }[/tex] е положителен разходящ.
В същото време подинтегралната функция [tex]\frac{1}{\sqrt{x^{2 } + x }} \ge \frac{1}{{\sqrt{x^{2 } + x^{2 }[/tex], т.е.
[tex]\frac{1}{\sqrt{x^{2 } + x }} \ge \frac{1}{x \sqrt{2}}[/tex]

И тъй като [tex]\int_{0}^{ \infty } \frac{dx}{ x }[/tex] е разходящ, а константата [tex]\frac{1}{\sqrt{2} }[/tex] не може да го "поправи", то и даденият интеграл е разходящ.

[Гост]

Много , много благодаря за решенията и обясненията на задачите