Граница на функция - що е то?

[freddy]

Здравейте! Както се досещате от заглавието, ще питам по отношение на границите на функции (и редици). Моля (страшно много), някой да ми обясни какво ще рече граница и самия й смисъл. И ако му се занимава, моля да обясни и понятието производна.
Благодаря страшно много!
П.С. Не става с учебници - четох, но просто не го разбрах.

[Knowledge Greedy]

Въпросът е с непостижимо сложен отговор, за това пускам малка кукичка, с която да видим защо не става с учебниците.

Да разгледаме обратната пропорционалност [tex]y=\frac{1}{x}[/tex].
Ето таблица със стойности, по която можем да преценим как функцията [tex]y[/tex] се изменя в зависимост от независимата променлива [tex]x[/tex], когато тази независима променлива [tex]x[/tex] става безкрайно голяма .

Граница на функция, що е то.PNG (1.87 KiB) Прегледано 13104 пъти

Казваме, че при [tex]x\rightarrow \infty[/tex] (четем "[tex]x[/tex] клонящо към безкрайност")
[tex]y\rightarrow 0[/tex] (четем "[tex]y[/tex] има граница [tex]0[/tex]").

Записваме [tex]\lim_{x \to\infty }\frac{1}{x}=0[/tex] или по-кратко [tex]\lim_{x \to\infty }y=0[/tex]
Ако има нещо ясно, ще продължим

[freddy]

Много благодаря за отговора. До тук ясно. Обаче ето сега например каква задача има: [tex]\lim_{x\to\4}(2x) =8[/tex]
2x=8 е правата пропорционалност. Т.е. това x->4 е нещо изкуствено което се прилага. По тази логика защо вместо да се пише lim, просто x не се замести с 2? (глупави въпроси, знам). Какъв е смисълът на границата в този случай? Също така пише, че не всички функции имат граници. Ако се избере какъвто и да е х от ДМ, не може ли да се намери граница. Смисъл докато има ДМ, според примера, който дадох, следва че всяка функция трябва да има граница. От учебника го закачих определението с едно малко изключение. По това, което разбрах, границата на редица е такова число L, за което маже да се намери безкрайно малко число е, за което е в сила неравенството I an - L I < e. До тук го схванах, което е напълно логично това да е граница. Но пише също, че трябва да се намери такова число р, че при p>n, трябва да е изпълнено по - горното неравенство. А това и идея си нямам какво трябва да значи и от къде пада това число р.

Много благодаря за отзивчивостта! На 2 места вече ме нахулиха колко съм тъп.

[Knowledge Greedy]

Чудесно! Имаме контакт
Разглеждаме сега правата пропорционалност [tex]y=2x[/tex].
Ще определим границата и при [tex]x\rightarrow 4[/tex].
Отново ще ползваме безкрайна таблица (с безбройно много колони). Но сега [tex]x[/tex] няма да пускаме към безкрайност, а ще приближаваме към 4.

Граница на функция, що е то 2.PNG (2.76 KiB) Прегледано 13081 пъти

Тук, както и в първата таблица бихме могли да поставим многоточие между всеки две съседни клетки, т.е. да разглеждаме безбройно много стойности на [tex]x[/tex] и съответните им стойности на [tex]y[/tex], стига обаче те да са в близост до [tex]4[/tex].
Както сам забеляза стойностите на [tex]y[/tex] се приближават до [tex]8[/tex] и бихме могли да изчислим границата с просто заместване [tex]x=4[/tex] във формулата [tex]y=2x[/tex], вместо да заничаме в таблицата доближавайки се все по-близо до [tex]4[/tex]-орката по [tex]x[/tex] и да регистрираме [tex]y\rightarrow 8[/tex].
Записваме [tex]\lim_{x \to2} y=8[/tex] или [tex]\lim_{x \to2} 2x=8[/tex].
Функциите, които имат това хубаво свойство - границата да се получава чрез заместване на [tex]x[/tex] с неговото гранично положение, та тези функции наричаме непрекъснати в точка. В случая казваме, че [tex]y=2x[/tex] е непрекъсната в точката [tex]4[/tex].

Изобщо не разглеждам въпросите ти като глупави. Без да си задаваме въпроси, няма да има напредък. Сега аз просто те окуражих и ти отново може да погледнеш определението, виж подчертаното близост от мен. На кое число от определението отговаря мярката за близост?
Утре ще продължим Ще разгледаме и граници на функции, които не са непрекъснати в точката, в която търсим границата.

[inveidar]

Не е ли по-добре първо да се обясни какво е граница на редица, а след това и какво е общото между редиците и функциите и чак после да говорим за граница на функция? Иначе момчето ще пита за какво са пък тези редици?

[Knowledge Greedy]

Преди да продължим с граница на прекъсната (в точка) функция, ще се върнем на пример 2 и ще обърнем внимание на така наречените едностранни граници.
Ако разгледаме внимателно таблицата "Графика на функция, що е то 2.PNG" - ще видим, че за [tex]x[/tex] има две възможности. Едната [tex]x\rightarrow 4[/tex], като [tex]x<4[/tex]
и втората
[tex]x\rightarrow 4[/tex], като [tex]x>4[/tex].
В първия случай може да се уговорим числото [tex]8[/tex] да наричаме лява граница на [tex]y=2x[/tex] при [tex]x\rightarrow 4[/tex]
Ще я записваме така [tex]\lim_{x \to2-0} y=8[/tex]
Дясната граница естествено ще бъде [tex]\lim_{x \to2+0} y[/tex].
Съвсем естествено ще считаме, че една функция [tex]y=f(x)[/tex] има граница (казва се още сходяща ) при [tex]x\rightarrow a[/tex], точно тогава, когато има лява и дясна граница в [tex]a[/tex], и тези граници са равни.

Каква е ползата от всичко това? Отговорът е - благодарение на тази логическа конструкция, ние можем да намерим границата на функция, която изобщо не е дефинирана в точката [tex]a[/tex]. От гледна точка на песимиста - с други думи - няма да можем да определим границата, като заместим [tex]x[/tex] с [tex]a[/tex].
Следващият ни пример е точно такъв
Да намерим [tex]\lim_{x \to 2} y[/tex], ако [tex]y=\frac{x^2-x-2}{x^2-4}[/tex].

[Knowledge Greedy]

Не е ли по-добре първо да се обясни какво е граница на редица, а след това и какво е общото между редиците и функциите и чак после да говорим за граница на функция? ...

Това и правя , само че "прескачам" редиците.

[Knowledge Greedy]

... До тук ясно. Обаче ... Какъв е смисълът на границата в този случай? Също така пише, че не всички функции имат граници. Ако се избере какъвто и да е х от ДМ, не може ли да се намери граница. Смисъл докато има ДМ, според примера, който дадох, следва че всяка функция трябва да има граница...

freddy, аз се съсредоточих да отговоря последователно на по-голямата част от твоите въпроси. Надявам се да прочетеш следващата задача и да ми кажеш изясняват ли се въпросите и какви нови възникват.

Да намерим [tex]\lim_{x \to 2}\frac{x^2-x-2}{x^2-4}[/tex]. Ще си направим отново таблица на стойностите на функцията [tex]y=\frac{x^2-x-2}{x^2-4}[/tex] с помощта на изчислителни средства (примерно Excel).
Търсим границата на [tex]y[/tex] при [tex]x\rightarrow 2[/tex], ето защо стойностите за [tex]x[/tex] ще подберем внимателно в близост до [tex]2[/tex].

Граница на функция 4.PNG (3.39 KiB) Прегледано 13056 пъти

Там, където би трябвало да е границата, светна червено - деление на нула!(Значи числото 2 не е от ДМ) Въпреки това, ако се вгледаш в редиците от числа на втория ред - отляво надясно преди червената клетка и на същия ред отдясно наляво след нея, ще забележиш натрапваща се тенденция.

Дали тази тенденция не зависи от числата на първия ред? Да ги сменим!

Граница на функция 4 ole.PNG (3.62 KiB) Прегледано 13056 пъти

Оказа се, че тенденцията се запази!! Кое трябва да е числото в клетката предназначена за границата, как мислиш?

[inveidar]

Не е ли по-добре първо да се обясни какво е граница на редица, а след това и какво е общото между редиците и функциите и чак после да говорим за граница на функция? ...

Това и правя , само че "прескачам" редиците.

Редиците не трябва да се "прескачат". Иначе така и на мен не са ми много ясни нещата.

[Knowledge Greedy]

Методики много.
На практика прилагам дефиницията на Хайне - всяка таблица е една двойка конкретни редици.
Но нагледността е преди всичко - виждат се стойностите на аргументите накъде отиват, виждат се и стойностите на функцията накъде отиват - към границата. Какво по-просто?
Впрочем, подчертавал съм където пряко ги използвам.

Друг е въпросът, че човекът не се интересува достатъчно. От следващите ми два примера всичко щеше да си разбере

[inveidar]

Би трябвало и да му обясниш какъв е смисълът на понятието граница. Човекът е попитал по-нагоре. И то е попитал доста разумно. И отговорът би могъл да е много прост, а не както казваш ти с непостижимо сложен отговор. Между другото, дал си отговор, но по много завоалиран начин.

[Гост]

ОК, действай !

[freddy]

Кое трябва да е числото в клетката предназначена за границата, как мислиш?

0.75
В случая нали разлагаме числителя и знаменателя на дробта, преработват се, за да се избегне нулата в знаменател, и се замества. Проблема при мене е, че при заместването получавам 0.6, а от таблицата следва да е 0.75, но явно е в мене грешката.

[Knowledge Greedy]

freddy, не си губи времето да четеш това!

НЯКОИ ОПРАВДАНИЯ ЗА ПРЕД inveidar

Здравейте!..., ще питам по отношение на границите на функции (и редици). Моля (страшно много), някой да ми обясни какво ще рече граница и самия й смисъл. И ако му се занимава, моля да обясни и понятието производна...

Не виждам как някой експерт ще обясни на три реда отговорите на горните три въпроса, "ако му се занимава". За това написах, че отговорите на тези прости въпроси за мен са непостижимо сложни.
Уважаемият експерт ще трябва обаче да го обясни и по такъв начин, че да е разбираем за това ниво

...П.С. Не става с учебници - четох, но просто не го разбрах.

Уважаемият експерт ще трябва да коригира отговорите си съобразно ветрилото на нова редица от въпроси

... До тук ясно. Обаче ето сега например каква задача има ... . Т.е. това x->4 е нещо изкуствено което се прилага. По тази логика защо вместо да се пише lim, просто x не се замести с 2? ... Какъв е смисълът на границата в този случай? ... Ако се избере какъвто и да е х от ДМ, не може ли да се намери граница? ... До тук го схванах, което е напълно логично това да е граница. Но пише също, че ... А това и идея си нямам какво трябва да значи и от къде пада това число р"?...

В края на краищата уважаемият експерт би трябвало да понесе и критиките на поне още 5 експерти, един от които ще бъде и колегата изпитващ freddy по предмета.

Аз лично съм готов да предоставя въпросите на freddy за отговори от inveidar и да се извиня и на двамата, че им загубих времето.

[Гост]

Не съм Фреди, но пък се възползвах от обясненото от Knowledge Greedy. Та даже и го разбрах. Затова мисля, че ще е жалко, ако спре дотук.

[Knowledge Greedy]

Кое трябва да е числото в клетката предназначена за границата, как мислиш?

0.75
В случая нали разлагаме числителя и знаменателя на дробта, преработват се, за да се избегне нулата в знаменател, и се замества. ..

Отлично, freddy!
Ето какво ти бях подготвил за отговор, но ти ме изпревари!
[tex]\frac{x^2-x-2}{x^2-4}=\frac{(x+1)\cancel{(x-2)}}{(x+2)\cancel{(x-2)}}=\frac{x+1}{x+2}[/tex]

[tex]\lim_{x \to 2}\frac{x^2-x-2}{x^2-4}=\lim_{x \to 2}\frac{x+1}{x+2}=\frac{2+1}{2+2 }=\frac{3}{4 }=0,75[/tex]

Сега да се върнем на примера, който бях разработил във връзка с двустранните граници.
Когато числото [tex]a[/tex] не е от ДМ на функцията [tex]f(x)[/tex], но съществуват границите [tex]\lim_{x\to {a-0}}f(x)=l[/tex] и [tex]\lim_{x\to{a+0}}f(x)=l[/tex], то тогава съществува [tex]\lim_{x\to a}f(x)[/tex] въпреки че [tex]f(a)[/tex] не може да се изчисли.
Да повторим:
- когато [tex]y=f(x)=2x[/tex] и [tex]x\rightarrow 4[/tex], то можем пряко да изчислим границата и тя е [tex]f(4)=8[/tex] защото [tex]4\in DM[/tex].
- но когато [tex]y=f(x)=\frac{x^2-x-2}{x^2-4}[/tex] и [tex]x\rightarrow 2[/tex], то не можем да изчислим границата, защото [tex]f(2)[/tex] е безсмислица, [tex]2\notin DM[/tex] . Въпреки това въпросната граница ([tex]0,75[/tex]) се оказа, че съществува.

А ето и още по-изненадващ пример. Колко е [tex]\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x }[/tex] ?

Тук също [tex]sinx\rightarrow 0[/tex] при [tex]x\rightarrow0[/tex] ( това може да се разглежда като самостоятелна задача - направи таблица, с която да покажеш, че [tex]\lim_{x\to 0}sinx=0[/tex]) и се получава неопределено частно [tex]\left [\frac{0}{ 0} \right ][/tex], като при това [tex]0\notin DM[/tex] на [tex]y=f(x)=\frac{sinx}{x }[/tex] и няма как да пресметнем [tex]f(0)[/tex]
Но ето какво дават отново спасителните изчислителни технологии

Граница на функция 5.PNG (3.77 KiB) Прегледано 13021 пъти

[inveidar]

От учебника го закачих определението с едно малко изключение. По това, което разбрах, границата на редица е такова число L, за което маже да се намери безкрайно малко число е, за което е в сила неравенството I an - L I < e. До тук го схванах, което е напълно логично това да е граница. Но пише също, че трябва да се намери такова число р, че при p>n, трябва да е изпълнено по - горното неравенство. А това и идея си нямам какво трябва да значи и от къде пада това число р.

Това означава, че за една БЕЗКРАЙНА числова редица (а само за такива съществуват граници!) не е важно как се разполагат върху числовата ос първите няколко, пък били те и милиард (нали си съгласен, че един милиард е нищо за безкрайно много числа?), члена. Важното е това, което казваш че си разбрал, да е изпълнено от някъде нататък (и това е точно твоето р). Т.е за всяко n>p (а не по-малко, както си написал) да е изпълнено еди какво си.
А границите на функциите, грубо казано, ни трябват точно за това, да намираме към каква стойност се приближава (разговорно казано) функцията, когато хиксът се приближава към някакво число, което не е от ДМ-то. Когато е от ДМ, както си отбелязал, няма проблем. Заместваш и готово. А защо ни трябва да знаем тези стойности, към които се "приближава" функцията? Една от причините е, че по този начин можем да добием по-точна представа за нейната графика, а от там и да можем нагледно да видим, анализираме и прогнозираме процесът, математическият модел на който е въпросната функция.

[Гост]

Много баби - хилаво дете!
Добре, че "детето" не взима нещата много на сериозно

Сря Авг 06, 2014 9:27 am...Това означава, че за една БЕЗКРАЙНА числова редица (а само за такива съществуват граници!) не е важно как се разполагат върху числовата ос първите няколко, пък били те и милиард (нали си съгласен, че един милиард е нищо за безкрайно много числа?), члена. Важното е това, което казваш че си разбрал, да е изпълнено от някъде нататък (и това е точно твоето р). Т.е за всяко n>p (а не по-малко, както си написал) да е изпълнено еди какво си...

Нед Авг 03, 2014 11:45 pm...Отново ще ползваме безкрайна таблица (с безбройно много колони) -... [tex]4[/tex]

...
Тук, както и в първата таблица бихме могли да поставим многоточие между всеки две съседни клетки, т.е. да разглеждаме безбройно много стойности на [tex]x[/tex] и съответните им стойности на [tex]y[/tex], стига обаче те да са в близост до [tex]4[/tex]...

Пон Авг 04, 2014 6:51 pm..., ето защо стойностите за [tex]x[/tex] ще подберем внимателно в близост до [tex]2[/tex]...., ще забележиш...
Дали тази тенденция не зависи от числата на първия ред? Да ги сменим!

..., стига обаче те да са в близост до [tex]4[/tex]... аз просто те окуражих и ти отново може да погледнеш определението, виж подчертаното близост от мен. На кое число от определението отговаря мярката за близост? ...

Ако не беше тъжно, щеше да е смешно.

Единият прилага една методика (продиктувана от липсата на време и място), другият го прекъсва и акцентува върху друго, при това без да е прочел внимателно постовете му.
Добре, че не съм Ви ученик. Не умеете да вникнете в това, което Ви казва другият. Така вечно ще влача от 3-ки до 5-ци , ако ме не забиете в самото начало с 2-ка

[Гост]

Скоро ще се намесят и monika_at и MENKA и тогава вече ще се изясни какво е граница.

Според мен граничният преход се проумява от добрите студенти по математика някъде след 2-ри курс.
По-рано каквито и обяснения да се дават все е тая. Но ще видим още компетентни мнения и работата ще се изясни.

[inveidar]

Много баби - хилаво дете!
Добре, че "детето" не взима нещата много на сериозно


Ако не беше тъжно, щеше да е смешно.

Единият прилага една методика (продиктувана от липсата на време и място), другият го прекъсва и акцентува върху друго, при това без да е прочел внимателно постовете му.
Добре, че не съм Ви ученик. Не умеете да вникнете в това, което Ви казва другият. Така вечно ще влача от 3-ки до 5-ци , ако ме не забиете в самото начало с 2-ка

А ти си ученик, колкото аз съм парашутист! Нещо грешно ли написах по-горе? Аз отговарям на питащия, а не на Кноулидж. На всички ни е ясно, че понятието граница не се осмисля лесно в детайли когато си ученик. Като си толкова вътре в нещата, вземи обясни на ДЕТЕТО! Но мисля, че си се издигнал в облаците малко повече отколкото трябва. Гледай да не ти се опърли перушинката от слънцето.

[MENKA]

Ако функционалните стойности на f(x) се приближават към едно число l,когато аргументът х се приближава към една точка х0 от дефиниционната си област,то тогава се казва,че l e граница на f(x).

[Гост]

inveidar (не fredy) си намери човека, който ще му отговори MENKA

[inveidar]

Ако функционалните стойности на f(x) се приближават към едно число l,когато аргументът х се приближава към една точка х0 от дефиниционната си област,то тогава се казва,че l e граница на f(x).

Тц. Не е задължително [tex]x_0[/tex] да е от дефиниционната област.

[inveidar]

inveidar (не fredy) си намери човека, който ще му отговори MENKA

Отдавна съм си намерил човека, който ми отговаря. Гледай и ти да си намериш.

[MENKA]

Ако функционалните стойности на f(x) се приближават към едно число l,когато аргументът х се приближава към една точка х0 от дефиниционната си област,то тогава се казва,че l e граница на f(x).

Тц. Не е задължително [tex]x_0[/tex] да е от дефиниционната област.

Да,не съобразих,че х0 може и да не е от ДО.