производна на неявна функция

[Гост]

Може ли да попитам има ли грешка в условието на задачата (възможно ли е в знаменателя да има "z")
z(x,y) z=x+arctg [tex]\frac{y}{z-x}[/tex]

[Гост]

А какво е условието?

[Добромир Глухаров]

Ако в дясната страна на дефиниционното равенство нямаше [tex]z[/tex], функцията [tex]z=z(x,y)[/tex] щеше да бъде явна. Ако в условието пише "неявна функция", много е възможно видът на функцията да е точно този.

[tex]z=x+\arctan\frac{y}{z-x}[/tex]

[tex]z-x=\arctan\frac{y}{z-x}[/tex]

[tex]tg(z-x)=\frac{y}{z-x}[/tex]

[tex]y=(z-x)tg(z-x)\ (1)[/tex]

Най-напред диференцираме двете страни спрямо [tex]x[/tex] (като помним, че [tex]z[/tex] зависи от [tex]x[/tex], но не и [tex]y[/tex] ([tex]y[/tex] е независима променлива)):

[tex]0=\(\frac{\partial z}{\partial x}-1\)tg(z-x)+(z-x)\frac{\frac{\partial z}{\partial x}-1}{cos^2(z-x)}[/tex]

[tex]\fbox{\frac{\partial z}{\partial x}=1}\Rightarrow z=x+\varphi(y)\Rightarrow \varphi(y)=z-x=\arctan\frac{y}{z-x}=\arctan\frac{y}{\varphi(y)}[/tex]

Следва също: [tex]\fbox{\frac{\partial z}{\partial y}=\varphi'(y)}[/tex]

[tex]tg\(\varphi(y)\)=\frac{y}{\varphi(y)}[/tex]

Последното е дефиниция за [tex]\varphi(y)[/tex] в неявен вид.

Можем също да диференцираме двете страни на [tex](1)[/tex] спрямо [tex]y[/tex], получаваме:

[tex]1=\frac{\partial z}{\partial y}tg(z-x)+(z-x)\frac{\frac{\partial z}{\partial y}}{cos^2(z-x)}\Rightarrow 1=\varphi'(y)\(tg\(\varphi(y)\)+\frac{\varphi(y)}{cos^2\(\varphi(y)\)}\)[/tex]

Получихме диференциално уравнение за функция на една независима променлива. Ако успеем да го решим, ще получим функцията [tex]\varphi(y)[/tex], а оттам и частната производна [tex]\frac{\partial z}{\partial y}[/tex].

Подозирам, че има и по-лесен начин, но не се сещам за него .